Symmetrie des 3×33×33\times 3 Cauchy-Spannungstensors [Duplikat]

Wenn Sie über den Cauchy-Spannungstensor in der klassischen Mechanik sprechen, lautet die Antwort auf Ihre erste Frage, dass dies keine Rolle spielt, da Sie eine Metrik in willkürlichen Koordinaten haben, die durch das Skalarprodukt des zugrunde liegenden euklidischen Raums induziert wird.

Sie können die Symmetrie des Cauchy-Spannungstensors aus dem Gleichgewicht des Drehimpulses ausnutzen, wenn Sie keine Paarspannungen, dh Quellen des Drehimpulses, annehmen. Der Nachweis erfolgt häufig durch Traktionsprüfungen$\sigma_{ij} n_j$durch ein bis zu einem gewissen Grad willkürliches Feld$\phi_i$und Verwendung von Linear- und Drehimpulswaagen. Sie können zum Beispiel prüfen$\epsilon_{imn}x_n \sigma_{ij} n_j$wie im Artikel Euler-Cauchy-Spannungsprinzip in Wikipedia beschrieben . Sie können sich also bewerben$\sigma(A, B)$zu$n$und welche Menge auch immer es bedeutet, sie mit Gewalt zu multiplizieren. Ich glaube nicht, dass eine intuitive Aussage in Form gebracht werden kann$\sigma(A,B)=\sigma(B,A)$.

Andererseits wird in Gurtin, ME: An Introduction to Continuum Mechanics (Beweis des Satzes von Cauchy, Kapitel V, Abschnitt 14) die Traktion durch infinitesimale starre Verschiebung und Gleichgewicht von Dreh- und Linearimpuls (in Form des virtuellen Arbeitssatzes mit der oben genannten Verschiebung) getestet ) wird genutzt. Dann nach einiger Manipulation kommen Sie an$\sigma_{ij}W_{ij}=0$für alle$W$schräg wo$W$ist der Verformungsgradient dieser Verschiebung.

Um es intuitiver zu machen, bedenken Sie das einfach$\sigma_{ij}\mathbf{v}_{i,j}$ist Arbeit, die durch innere Oberflächenkräfte verrichtet wird. Keine solche Arbeit kann mit starren Bewegungen durchgeführt werden, wenn$\mathbf{v}_{i,j}$ist schief. Somit$\sigma$muss symmetrisch sein.

Die Antwort auf Ihre erste Frage lautet, dass alle möglichen Interpretationen in Ordnung sind. In der klassischen Kontinuumsmechanik können Sie mit der euklidischen Metrik eindeutig zwischen Vektoren und Covektoren, also beiden, übersetzen$n$und$t_n$Kann beides sein. Die Wahl des Typs für die "Eingabe" und "Ausgabe" bestimmt dann die Art des Tensors, der die Spannungsenergie sein wird.

In allgemeineren Situationen gilt dies auch: Um von Tensorsymmetrie zu sprechen, muss eine Metrik angegeben werden, in diesem Fall können Vektoren und Covektoren eindeutig identifiziert werden. Wenn keine Metrik vorhanden ist, kann man nur von Tensorsymmetrie sprechen, wenn man Tensoren als multilineare Formen betrachtet.

Normalerweise würden Sie beides wählen$n$und$t$(Lass mich das weglassen${}_n$) Vektoren sein, in diesem Fall die Tensoridentität$t=Sn$liest sich komponentenweise als$t^i=S^i_{\phantom{i}j}n^j$, und$S$sollte als linearer Operator aus gesehen werden$E^3$zu sich selbst, und ist symmetrisch in dem Sinne, dass$\langle u,Sv\rangle=\langle Su,v\rangle$für alle$u,v\in E^3$, wo$\langle\cdot,\cdot\rangle$ist die euklidische Metrik in$E^3$.

Diese Art von Symmetrie macht manche Leute jedoch nervös. In diesem Fall kann die Einnahme helfen$n$ein Vektor sein und$t=Sn$um ein Covektor zu sein, in diesem Fall$t_i=S_{ij}n^j$, und die Symmetrie von$S$ist komponentenweise$S_{ij}=S_{ji}$. Hier$S$sollte als symmetrische bilineare Form angesehen werden$S(v,n)=S(n,v)$, gegeben von$S(v,n)=(Sn)(v)=t(v)=t_iv^i=v^iS_{ij}n^j$.

Unter dem Strich ist die Symmetrie also von jedem gewünschten Typ, solange Sie die Eingangs- und Ausgangstypen des (Co-)Vektors entsprechend auswählen.