Hier ist eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken. Es wird hilfreich sein, eine Analogie zur Kontinuitätsgleichung für Flüssigkeitsströmungen herzustellen. Angenommen, Sie haben eine Flüssigkeit, die mit einer ungleichmäßigen Geschwindigkeit fließt$\vec{u}(\vec{r})$. Betrachten Sie die Region$\Omega$der von einer Oberfläche begrenzten Flüssigkeit$S$, und nehmen Sie an, dass Ihnen die Gesamtmasse in der Region mitgeteilt wird$\Omega$konstant ist, und außerdem die Massendichte$\rho(\vec{r})$an jedem Punkt ein$\Omega$ist konstant. Was könnten Sie daraus schließen? Nun, Sie wissen, dass in der von gegebenen Flüssigkeit ein Massenstrom vorhanden ist$\vec{J}=\rho \vec{u}$, und da sich jedes Massestück kontinuierlich bewegt, ist die Dichteänderung an einem Punkt gleich der Menge an Masse, die in diesen Punkt fließt. Mathematisch ausgedrückt wird dies durch die „Kontinuitätsgleichung“$\dot{\rho} = -\nabla \cdot \vec{J}$. Wenn wir dies über das gesamte Volumen integrieren, finden wir$\dot{M} = \int_\Omega \dot{\rho} = \int_\Omega - \nabla \cdot \vec{J} = - \oint_S \vec{J} \cdot \hat{n}\, dA$. Ganz rechts der Begriff$\vec{J} \cdot \hat{n}$stellt den Massenstrom durch die Oberfläche dar.

Der Spannungstensor ist in der Tat nicht viel schwerer zu verstehen. Sie haben zwei Fragen: Warum ist die Kraft auf einer Fläche linear in$\hat{n}$? und Warum ist$\sigma$symmetrisch? Ich werde diese nacheinander beantworten. Beide Antworten erfolgen in Analogie zur Flüssigkeitsströmung.

Warum ist die Kraft auf einer Fläche linear in$\hat{n}$?

Angenommen, wir haben ein großes Stück Material, und uns wird gesagt, dass die Impulsdichte, die ich bezeichnen werde$\vec{p}$, und die Drehimpulsdichte, die ich bezeichnen werde$\vec{\ell}$, ist in einigen Regionen konstant$\Omega$mit Grenze$S$. Lassen Sie uns ein Koordinatensystem auswählen und eine Komponente des Impulses auswählen, um sie zu betrachten, sagen wir die$i$te Komponente,$p_i$. Dann$p_i$ist analog zu$\rho$. Da jedes kleine Stück Material nur Kräfte auf seine Nachbarn ausübt (es gibt keine Fernkräfte), die$p_i$muss sich kontinuierlich durch das Material bewegen. So der Ablauf von$p_i$wird durch einige Strömungen beschrieben$\sigma_{ij}$was analog ist$-J_j$(Beachten Sie, dass es eine Vorzeichenkonvention gibt). Identifizieren$\dot{p}_i$mit$f_i$, die Kraft pro Volumeneinheit, gibt uns die Kontinuitätsgleichung$f_i = \partial_j \sigma_{ij}$(Erinnerung an die Vorzeichenkonvention). Integration über die Region$\Omega$, mit$P_i$Sein$i$te Komponente des Gesamtimpulses finden wir$\dot{P}_i = \int_\Omega \dot{p}_i = \int_\Omega \partial_j \sigma_{ij} = \oint_S \sigma_{ij} n_j \, dA$. Daher der Begriff$\sigma_{ij} n_j$hat die Interpretation des Impulsflusses durch die Oberfläche, oder mit anderen Worten, der Kraft pro Flächeneinheit auf der Oberfläche. Die Antwort auf den ersten Teil Ihrer Frage lautet also, dass die Kraft pro Flächeneinheit linear ist$\hat{n}$aus dem gleichen Grund, aus dem der Massenfluss durch eine Fläche linear ist$\hat{n}$, und der Grund dafür ist, dass es einen gewissen Strom gibt, der beschreibt, wie sich die Masse (oder der Impuls) durch das Medium bewegt, und der Fluss ist nur der Strom, in den es gepunktet ist$\hat{n}$.

Warum ist$\sigma$symmetrisch?

Lassen Sie uns nun den zweiten Teil Ihrer Frage ansprechen, warum müssen$\sigma_{ij}$symmetrisch sein, wenn das Objekt im Gleichgewicht ist. Betrachten wir nun die$i$te Komponente der Drehimpulsdichte$\ell_i$. Wir wissen, dass ein externer Agent eine Kraft pro Flächeneinheit ausübt$\vec{f}$an einem Punkt$\vec{r}$auf die Oberfläche übt ein Drehmoment aus, dessen$i$te Komponente ist gegeben durch$\tau_i = \epsilon_{ijk} r_j f_k$. Das wissen wir jedoch aus dem vorherigen Absatz$f_k = \sigma_{kh} n_h$. Damit schließen wir das$\tau_i$, das ist der Fluss von$\ell_i$, ist gegeben durch$\epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh} n_h$. Wir wissen, dass dies eine eingeprägte Strömung sein sollte$\hat{n}$, also die$\ell_i$Strom muss sein$\epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh}$. Der Wechsel ein$\ell_i$pro Volumeneinheit, das heißt$i$te Komponente des Drehmoments pro Volumeneinheit$\tau_i$, ist die Divergenz dieses Stroms:$\dot{\ell}_i = \partial_h \epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh} = \epsilon_{ijk} (\partial_h r_j) \sigma_{kh} + \epsilon_{ijk}r_j (\partial_h \sigma_{kh}) = \epsilon_{ijk} \delta_{hj} \sigma_{kh} + \epsilon_{ijk}r_j f_k = \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} + \epsilon_{ijk}r_j f_k.$

Der zweite Begriff ist$\vec{r} \times \vec{f}$Wie erwartet berücksichtigt dies den Drehimpuls, der durch die gleichmäßige Translation des kleinen Materialstücks erzeugt wird. Der andere Term ist der antisymmetrische Teil von$\sigma$und es stellt eine Rotation des kleinen Materialstücks um seinen Massenmittelpunkt dar. Zu zeigen, dass$\sigma$muss an einem beliebigen Punkt symmetrisch sein$\vec{r}$verschieben wir zuerst den Ursprung nach$\vec{r}$und finden Sie dann den Ausdruck für$\dot{\ell}_i$, die zreo sein muss, da sich das Objekt im Gleichgewicht befindet. Wir finden$0 = \dot{\ell}_i = \epsilon_{ijk} \sigma_{kj}$bei dem die$\vec{r} \times \vec{f}$Begriff wurde fallen gelassen, weil$\vec{r}$ist Null. So finden wir, dass der antisymmetrische Teil von$\sigma$muss 0 sein.

Zur Symmetrie: Wenn der Spannungstensor nicht symmetrisch wäre, würde ein Nettodrehmoment auf das Objekt wirken und es würde sich drehen. Eine Erklärung finden Sie im Bild unten. Die Komponenten$\sigma_{ij}$repräsentieren die Scherkräfte auf die$i$Gesicht im$j$Richtung:

Da der Spannungstensor Objekte im Gleichgewicht beschreibt, dreht sich das Objekt nicht (dh das Nettodrehmoment ist Null - dies ist der "Erhaltungsteil des Drehimpulses")$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$.

Eine wichtige Sache, an die man sich erinnern sollte, ist, dass es die Annahme gibt, dass es keine Kraft gibt, die auf die Masse des Objekts wirkt, die in der Lage ist, ein Nettodrehmoment auszuüben (dh Drehimpuls auszutauschen).

Diese Vorstellung ändert sich, wenn man an so etwas wie das Zusammenspiel von Materie und elektromagnetischem Feld denkt. Obwohl Sie das obige Bild anpassen können, um zu zeigen, dass der gesamte Spannungstensor des gesamten Systems symmetrisch sein muss, ist es nicht notwendig, dass der Spannungstensor seines Teils auch symmetrisch ist.