Symmetrie des Spannungstensors zeigen durch Anwendung des Divergenzsatzes auf ∫∫δV(t)x⃗ ×t⃗ dS∫∫δV(t)x→×t→dS\int\int_{\delta V(t)} \vec{x} \times \vec{t} dS [duplizieren]

Ich arbeite gerade an der Symmetrie des Spannungstensors in Bezug auf viskosen Fluss. Ich betrachte dies, indem ich die Erhaltung der Drehimpulsgleichung für ein materielles Volumen untersuche v ( T ) mit Einheit normal N → = ( N 1 , N 2 , N 3 ) . Ich habe Probleme mit der Anwendung des Divergenzsatzes auf diesen Begriff

∫ ∫ δ v ( T ) X → × T → D S

Wo X → = ( X 1 , X 2 , X 3 ) Und T → ist der Stressvektor wo T → = e → ich σ ich J N J , unter Verwendung der Summationskonvention, wo σ ich J ist Stressvektor.

Wenn ich aus diesem Ausdruck eine Normale extrahieren kann, kann ich den Divergenzsatz verwenden, um ihn in ein Volumenintegral umzuwandeln und mit den anderen Termen der Gleichung zur Erhaltung des Drehimpulses kombinieren, die Volumenintegrale sind, was zum Zeigen führen wird σ ich J = σ J ich .

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Der ich te Komponente des Integrals ist ∮ S ϵ ich J k X J σ k l N l D S Wir sehen das ϵ ich J k X J σ k l hat seine l Indexvertrag mit N ^ . Daher erlaubt uns der Divergenzsatz, dieses Integral in umzuwandeln ∫ v ∂ l ϵ ich J k X J σ k l D v = ∫ v ϵ ich J k ( ∂ l X J ) σ k l D v + ∫ v ϵ ich J k X J ( ∂ l σ k l ) D v = ∫ v ϵ ich J k δ l J σ k l D v + ∫ v ϵ ich J k X J T k D v = ∫ v ϵ ich J k σ k J D v + ∫ v ϵ ich J k X J T k D v .

Ist es das, was du wolltest?

Symmetrie des Spannungstensors zeigen durch Anwendung des Divergenzsatzes auf ∫∫δV(t)x⃗ ×t⃗ dS∫∫δV(t)x→×t→dS\int\int_{\delta V(t)} \vec{x} \times \vec{t} dS [duplizieren]
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