Warum sind in einer Flüssigkeit die Schubspannungen τxyτxy\tau_{xy} und τyxτyx\tau_{yx} gleich?

Dies folgt aus der Rotationsinvarianz. Wenn der Spannungstensor nicht symmetrisch ist, bleibt der Drehimpuls der Flüssigkeit nicht erhalten. Genauer gesagt ist die Impulserhaltung die Gleichung

$$\frac{\partial}{\partial t}\pi_i + \nabla_j\tau_{ij} = 0$$ Wo$\pi_i=\rho v_i$ist die Impulsdichte. Die Dichte des Drehimpulses (um den Ursprung) ist$l_i=\epsilon_{ijk}x_j\pi_k$Und$l_i$ist erhalten, wenn$\epsilon_{ijk}\tau_{jk}=0$(also ggf$\tau_{ij}$ist symmetrisch). Wir bekommen $$\frac{\partial}{\partial t}l_i + \nabla_j m_{ij} = 0$$ Wo$m_{ij}=\epsilon_{ikl}x_k\tau_{lj}$ist der Drehimpulsfluss.

Natürlich kann sich der Drehimpuls des Fluids aufgrund externer Drehmomente ändern, und der Drehimpuls einer Fluidzelle kann sich aufgrund von Oberflächenspannungen ändern. (Das heißt, ich kann den Erhaltungssatz über ein Volumen innerhalb der Flüssigkeit integrieren, und der Drehimpuls des Flüssigkeitsvolumens ändert sich aufgrund von Oberflächendrehmomenten. Natürlich bleibt der Gesamtdrehimpuls der Flüssigkeit erhalten.)

All dies gilt für jede Flüssigkeit, die durch einen rotationsinvarianten Hamiltonoperator beschrieben wird, also jede Flüssigkeit, die aus Atomen, Elektronen, Quarks, Gluonen usw. besteht.

Eine interessante Frage stellt sich, wenn die Rotationsinvarianz spontan gebrochen wird, beispielsweise bei einem Flüssigkristall. In diesem Fall bleibt der Drehimpuls erhalten und der Spannungstensor ist symmetrisch, aber die hydrodynamische Beschreibung des Fluids (und der Spannungstensor selbst) hängen von einem zusätzlichen Vektorfeld ab$n_i$, die sich aus dem Auftragsparameter ergibt.

Ich bin auf die gleiche Frage mit genau dem gleichen Gedanken gestoßen. Aber ich habe einen Weg gefunden, es zu erklären. Betrachten Sie ein Fluidelement:

Der wichtigste Punkt hier ist der$\tau_{xy}=\tau_{yx}$gilt nur, wenn die Größe von Fluidelementen gegen Null geht oder ihre Masse gegen Null geht oder dx = dy = dz = a (a ist die Länge einer Würfelgröße, a geht gegen Null).

Mal sehen, wie$\tau_{xy}$Und$\tau_{yx}$sind, wenn a sich Null nähert: Die Idee hier ist, dass selbst wenn die Größe oder Masse des Fluidelements sich Null nähert, seine Winkelbeschleunigung ein endlicher Wert sein muss . Wir werden also versuchen, die Winkelbeschleunigung des Fluidelements zu berechnen, wenn sich seine Größe Null nähert.

Betrachten Sie die Winkelbeschleunigung für die z-Achse (aacz):

$$accz = \lim_{a\to0}{\frac{\tau_{yx}a^2(a/2)-\tau_{xy}a^2(a/2)}{\frac{1}{6}(\rho a^3) a^2}}$$ wobei der Zähler einfach das angelegte Drehmoment ist ($a^2$ist die Fläche einer Fläche, a/2 ist der Abstand der Kräfte zur z-Achse), der Nenner ist das Trägheitsmoment des Fluidelements ($\rho a^3$ist die Masse). Da a sich Null nähert und es sicher ist, diese einfachen Begriffe und Formeln zu verwenden, können wir davon ausgehen, dass die z-Achse auch durch die Mitte des Würfels verläuft. Rechnen Sie weiter: $$accz = \lim_{a\to0}{\frac{3(\tau_{yx}-\tau_{xy})}{\rho a^2}}$$ Wir sehen das, wenn a$\to$0 haben wir noch$\rho \to$Finte Wert. Also wenn$\tau_{yx} \neq \tau_{xy}$, accz würde ins Unendliche gehen. Also müssen wir haben$\tau_{yx} = \tau_{xy}$für infinitesimal kleines Fluidelement