Warum impliziert die Weyl-Invarianz einen spurlosen Energie-Impuls-Tensor?

Question

Warum impliziert die Weyl-Invarianz einen spurlosen Energie-Impuls-Tensor?

Physik
Symmetrie
Stringtheorie
Skaleninvarianz
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Ryan Unger

Ich habe begonnen, die Stringtheorie von Polchinski und Becker, Becker und Schwarz, selbst zu studieren. Ich verstehe nicht, warum die Tatsache, dass die Polyakov-Wirkung unter Weyl-Transformationen invariant ist, mit der Spurlosigkeit des Energie-Impuls-Tensors zusammenhängt. Ich kann dem Argument in BBS mit Eichfreiheit gut folgen, aber dann erwähnen sie, dass dies mit der Weyl-Invarianz zusammenhängt. Andererseits sagt Polchinski einfach

Die Invarianz von $S_\text{P}$ unter willkürlichen Weyl-Transformationen impliziert dies weiter
$γ_{A B} \frac{δ}{δ γ_{A B}} S_{P} = 0 ⟹ T_{A}^{A} = 0$ $\gamma_{ab}\frac{\delta}{\delta\gamma_{ab}}S_\text{P}=0\implies T_a^{\;a}=0$

(Hier $\gamma_{ab}$ ist die Worldsheet-Metrik.)

Wie folgt dies aus der Weyl-Invarianz?

Antworten (1)

Warum impliziert die Weyl-Invarianz einen spurlosen Energie-Impuls-Tensor?

Benutzer21299 · Answer 1

Der (Belinfante-Rosenfeld) Spannungsenergie-Impulstensor ist definiert als

T^{μ v} \propto \frac{1}{\sqrt{- G}} \frac{δ S}{δ G_{μ v}}

$T^{\mu\nu}\propto \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$

wo sich die Worldsheet-Metrik befindet $g_{\mu\nu}$ . Per Definition des funktionalen Derivats für jede Variation $\delta g_{\mu\nu}$ , wir haben

δ S = \int \frac{δ S}{δ G_{μ v}} δ G_{μ v}

$\delta S = \int \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} \delta g_{\mu\nu}$

Betrachten Sie nun den Fall, wo $\delta g_{\mu\nu}$ ist eine infinitesimale Weyl-Invarianz, oder

$\delta g _{\mu\nu} = \Omega^2 g_{\mu\nu}$ , Wo $\Omega$ ist irgendeine Funktion.

Weyl-Invarianz von $S$ bedeutet, dass $\delta S$ muss für alle verschwinden $\delta g_{\mu\nu}$ dieser Form bzw

0 = \int \frac{δ S}{δ G_{μ v}} Ω^{2} G_{μ v}

$0=\int \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\Omega^2 g_{\mu\nu}$

Dann impliziert das fundamentale Lemma der Variationsrechnung die Spurlosigkeit der funktionalen Ableitung $\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$ , die bis auf verschiedene Proportionalitätsfaktoren gleich dem Spannungsenergietensor ist.

Übrigens gibt Ihnen diese Argumentationslinie auch Dinge wie Bianchi-Identitäten (versuchen Sie dies für die Einstein-Aktion).

Danke schön. So einfach und ich habe es vermisst. Was genau meinst du mit "dieser Argumentationskette"? Ich weiß, dass die Bianchi-Identitäten abgeleitet werden können, indem Variationen berücksichtigt werden, die durch ein Lie-Derivat induziert werden.
Exakt. Dann $\delta g = {\cal L}_\xi g$ . Dieser Trick kann verwendet werden, um weniger triviale ``Bianchi''-Identitäten im Zusammenhang mit zB höherer abgeleiteter Gravitation zu beweisen.

Warum impliziert die Weyl-Invarianz einen spurlosen Energie-Impuls-Tensor?

Ryan Unger

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Benutzer21299

Ryan Unger

Benutzer21299

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