Ist die Weyl-Invarianz für String-Worldsheets unbedingt erforderlich?

Lieber Jenkins, die Theorien, die Sie konstruieren wollen, sind „unkritische String-Theorien“ und sie sind weniger interessant und weniger konsistent als die „kritischen String-Theorien“.

Erstens ist die Nambu-Goto-Aktion – der eigentliche Bereich des Weltblatts – nichtlinear. Es enthält Quadratwurzeln usw. Es ist viel besser, einen zusätzlichen metrischen Tensor auf dem Weltblatt und der Aktion für die Koordinaten einzuführen$X$wird schön bilinear - eine freie Theorie.

Wir möchten jedoch nicht, dass neue Freiheitsgrade hinzugefügt werden. Der 2D-metrische Tensor hat drei unabhängige Komponenten. Zwei von ihnen können durch die 2 Freiheitsgrade in der 2D-Koordinatenumparametrierungssymmetrie auf eine Standardform gesetzt werden; und die dritte durch die Weyl-Symmetrie, falls vorhanden.

Wenn es das nicht gibt, ist es schade. Die Hilfsweltblattmetrik darf nur auf die Form gebracht werden$e^\phi \eta_{ab}$. Das bedeutet, dass$\phi$, die die Gesamtskalierung bestimmt, wird zu einer weiteren Funktion der Weltblattkoordinaten$(\sigma,\tau)$, ganz analog zu den Raumzeitkoordinaten$X(\sigma,\tau)$. Tatsächlich ist es wirklich gültig zu sagen, dass der Parameter, der die Gesamtskalierung der Metrik bestimmt, eine andere Raumzeitkoordinate ist.

Wenn diese Koordinate völlig identisch mit den anderen Koordinaten wäre, dann gäbe es auch eine Translationssymmetrie in der$\phi$Richtung - aber das entspricht der Weyl-Symmetrie (multiplikative Skalierung von$e^\phi$ist dasselbe wie additive Verschiebungen$\phi$). Denn nach Annahme hält die Weyl-Symmetrie in Ihrer Theorie die neue Raumzeitkoordinate nicht$\phi$kann nicht ganz die gleichen Eigenschaften haben wie die anderen Raumzeitkoordinaten.

Unter normalen Umständen erhalten Sie jedoch die Verletzungen der Weyl-Invarianz als Krankheit. Insbesondere wenn Sie versuchen, die Stringtheorie in einer unkritischen Dimension zu studieren, dh$D\neq 26$oder$D\neq 10$, werden Sie feststellen, dass das Feld$\phi$nicht entkoppelt und das Pfadintegral, wenn es einschließlich der Einschleifengenauigkeit berechnet wird, hängt immer noch davon ab$\phi$. Also die Weyl-Symmetrie, gleichbedeutend mit einer additiven Verschiebung von$\phi$durch eine Funktion des Weltblattes, ist keine Symmetrie.

Wie gesagt, das kann so interpretiert werden$\phi$wird zu einer neuen Raumzeitkoordinate. Aber wenn Sie versuchen, die effektive Aktion in der neuen Raumzeit zu berechnen, hat das eine zusätzliche Dimension$\phi$, werden Sie feststellen, dass die Gesetze der Physik unter Übersetzungen in nicht unveränderlich sind$\phi$- das ist nichts anderes als das Versagen der Theorie, Weyl-invariant zu sein.

Insbesondere werden Sie feststellen, dass die Dehnung linear davon abhängt$\phi$: Suchen Sie nach Artikeln über "linear dilaton". Der quadratische Gradient des Dilatons bezieht sich auf den Überschuss oder Überschuss (wenn er zeitartig oder raumartig ist) der Raumzeitkoordinaten relativ zur kritischen Dimension.

Wenn die Raumzeit zwei Dimensionen hat, kann man die Dilatonie in Abhängigkeit von der (einzigen) raumartigen Koordinate wählen$\phi=X^1$so dass die Theorie inkl$\phi$ist wieder Weyl-invariant. In diesem Fall ist es sinnvoll, nicht nur das richtige lineare Dilaton – Lösen der Bewegungsgleichungen – zu berücksichtigen, sondern auch einen nicht-trivialen Hintergrund für das Tachyon. Man endet bei der sogenannten „Liouville-Theorie“ – einer „linearen Dilaton“-Theorie mit etwas zusätzlichem tachyonischem Profil in einem unkritischen Faden$D=2$Raumzeit - was etwas konsistenter ist als andere unkritische Stringtheorien. Die Liouville-Theorie kann auch durch ein quantenmechanisches Modell mit einer großen Matrix beschrieben werden – die alte Matrixtheorie.