Knotenoperator - Zustandsabbildung in Polchinskis Buch

Der Hauptpunkt ist, dass die Operator - Zustands -Korrespondenz alle Vernichtungsoperatoren auf Null abbildet, so dass eine operatorwertige Laurent-Reihe hereinkommt$z$Und$\bar{z}$auf eine ket-state-bewertete Potenzreihe in abbildet$z$Und$\bar{z}$.

Beginnen Sie mit der Aktion (2.1.1), wo die Felder$\partial X^{\mu}$sind auf einem gegebenen Weltblatt definiert. Dann Gl. (2.1.12) sagt Ihnen das$\partial X^{\mu}$ist auf dieser Oberfläche holomorph.

Wie wir eine holomorphe Funktion entwickeln können, hängt von der Topologie auf der Oberfläche ab, auf der sie definiert ist. Wenn es sich um die komplexe Ebene handelt (der übliche Fall), dann haben Sie eine Erweiterung$\sum\limits_{m \geq 0} a_m z^m$. Wenn Sie sich auf der Riemann-Kugel befinden, fügen Sie eine Bedingung im Unendlichen hinzu, und die einzigen holomorphen Funktionen (die in der komplexen Ebene bewertet werden) sind die Konstanten. Geht man nun auf einen Zylinder, wie es bei der Ausbreitung einer freien Saite der Fall ist, dann entspannt man eine Bedingung am Ursprung, und die Ausdehnung ist$\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} a_m z^m$. Auch wenn dies "Pole" hat, ist es tatsächlich eine holomorphe Funktion auf dem Zylinder oder der Ebene ohne Ursprung.

Wenn Sie jetzt in der Zustandsoperator-Korrespondenz den Identitätsoperator am Ursprung einfügen, reduziert sich dies auf den Übergang vom Zylinder zur Ebene. Am Ursprung ist kein Loch mehr, da jetzt in Bild 2.6.b die Kontur die kreuzen kann$\mathcal{A}$einfügen. Also die Koeffizienten mit negativ$m$In$\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} a_m z^m$muss den entsprechenden Zustand vernichten. Dies identifiziert diesen Zustand mit dem Grundzustand.

Bevor wir einen lokalen Operator an den Ursprung der setzen$z$Ebene, der Ursprung ist eigentlich eine Singularität der Exponentialkarte, die den Zylinder zur komplexen Ebene schickt. Die lokalen Operatoren sind also am Ursprung singulär vor der Zustands-Operator-Korrespondenz.

Die Zustands-Operator-Korrespondenz ist die Beobachtung, dass wir Zustände bei abbilden können, wenn wir die Singularität am Ursprung durch einen dortigen lokalen Operator ersetzen$t=\pm\infty$auf dem Zylinder an lokale Operatoren am Ursprung der Ebene.

Das singuläre Verhalten am Ursprung wird durch den lokalen Operator bestimmt, den Sie am Ursprung platzieren. Der$1$Der lokale Operator zeichnet sich dadurch aus, dass er überhaupt keine Singularität aufweist. Andere Staaten/Betreiber mögen$:\partial X^{\mu}\bar{\partial}X^{\nu}e^{ikX}:$eine Singularität am Ursprung reproduzieren.

Ich werde noch eine andere, einfachere Antwort geben. Alle diese Diskussionen sind Operatorgleichungen. Jetzt als Operatorgleichung$\bar{\partial}\partial X^\mu = \text{contact terms}$, siehe die Diskussion auf S. 35. Aber Kontaktbegriffe würden von allen Operatoren innerhalb der Kontur entstehen. Der einzige derartige Betreiber ist der Betreiber der Einheit, und daher gibt es keine Vertragsbedingungen und$\bar{\partial}\partial X^\mu =0$und so$\partial X^\mu$ist holomorph.