Warum ist die Weyl-Invarianz wichtig für die konsistente Stringtheorie?

In der folgenden Antwort werde ich nur versuchen zu begründen, warum die Weyl+diff-Invarianz in der (bosonischen) Stringtheorie notwendig ist (als notwendig erachtet wird).

Betrachten Sie einen (klassischen) String in einer Raumzeit mit Koordinaten$X^\mu$und metrisch$G_{\mu\nu}$. Wenn sich die Saite bewegt, definiert sie eine zweidimensionale Oberfläche$S$. Lassen$g$bezeichnen die Metrik, die auf der Oberfläche von der Raumzeitmetrik induziert wird$G$. Fläche der Oberfläche, gemessen nach der Metrik$g$dient als (Nambu Goto) Aktion der klassischen Saite. Parametrieren der Oberfläche mit einigen Koordinaten$\sigma_1,\sigma_2$wir können schreiben$g$als

$g_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}X^\mu \partial_{\beta}X^{\nu}G_{\mu\nu}$

und die Aktion kann geschrieben werden als

$S_{NG}=-T\int d\sigma_1 d\sigma_2 \sqrt {-det(g)}$

Um diese Aktion zu definieren, mussten wir Koordinaten (genauer gesagt lokale Koordinatendiagramme) auf der Oberfläche auswählen$S$. Es ist klar, dass die Einwirkung (~ Flächeninhalt) unabhängig von der Wahl der Koordinaten ist$\sigma_1,\sigma_2$An$S$. Wahl der Koordinaten an$S$dient nur als Hilfswerkzeug, um die Aktion bequem zu beschreiben, und ist keine physikalische Eigenschaft der Oberfläche. Wenn wir also unseren String quantisieren, möchten wir nicht, dass irgendeine physikalische Observable in unserer Quantentheorie von der Wahl der Koordinaten abhängt.

Wir können die obige Aktion quantisieren, aber der Einfachheit halber führen wir eine andere Version der Aktion ein. Dies geschieht durch die Einführung von on$S$eine Metrik$h$. Wir können jede beliebige Metrik wählen, außer dass sie die Signatur (-1,1) hat {wobei wir davon ausgehen, dass die Raumzeit-Metrik die Signatur (-1,1,...,1) hat}. Es ist bekannt, dass die Aktion

$S_P=-\frac{T}{2}\int d\sigma_1d\sigma_2\sqrt{-det(h)} h^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^\mu \partial_{\beta}X^{\nu}G_{\mu\nu}$

definiert die gleiche klassische Theorie wie$S_{NG}$bis auf einen Hauptunterschied. Klassische Theorie definiert durch$S_{P}$hat zusätzliche Variablen, die den drei unabhängigen Komponenten der (symmetrischen) Metrik entsprechen$h$. Wir wissen jedoch, dass die physikalische Saite selbst keine solchen Freiheitsgrade hat, weil wir ihre klassische Bewegung durch die Aktion beschreiben können$S_{NG}$was nur davon abhängt$X^\mu$, Und$G_{\mu\nu}$. Wenn wir also eine Quantentheorie der Saite erhalten wollen, indem wir die Aktion quantisieren$S_P$dann müssen wir neben der Forderung, dass die physikalischen Observablen in unserer Quantentheorie nicht von der Wahl der Koordinaten abhängig sind, auch verlangen, dass sie nicht von der Wahl der Metrik abhängen$h$. Insbesondere sollen den metrischen Freiheitsgraden keine physikalischen Observablen entsprechen$h_{11},h_{12}=h_{21},h_{22}$und so sollten wir sie irgendwie loswerden können.

Um drei kontinuierliche Freiheitsgrade loszuwerden, benötigen wir drei kontinuierliche Symmetrien der Aktion. Die Diffemorphismusinvarianz erlaubt es uns, die beiden Weltblattkoordinaten willkürlich zu ändern und gibt uns daher effektiv zwei kontinuierliche Symmetrien. Wir brauchen noch eine kontinuierliche Wirkungssymmetrie, die durch die Weyl-Invarianz gegeben ist. In zwei Dimensionen ist bekannt, dass durch Diffeomorphismus und Weyl-Transformationen jede Metrik (lokal) in eine flache Metrik umgewandelt werden kann (dies folgt aus der Tatsache, dass man auf zweidimensionalen Flächen immer lokale Isothermenkoordinaten finden kann). Also in der klassischen Theorie durch Handeln definiert$S_P$Wir können die Metrik abschätzen$h$unter Verwendung der kontinuierlichen Symmetrien des Diffeomorphismus und der Weyl-Invarianz. Wenn wir dafür sorgen, dass Quantisierungsverfahren diese Eichsymmetrien bewahren, dann können sie auch in der Quantentheorie verwendet werden, um die metrischen Freiheitsgrade wegzumessen. Auch da die Aktion keine andere kontinuierliche Symmetrie hat, die uns helfen kann, sie loszuwerden$h$daher ist die Erhaltung der Weyl+diff-Invarianz notwendig.