Zusammenhang von konformer Symmetrie und spurlosem Energie-Impuls-Tensor

Beachten Sie, dass unter einer infinitesimalen Änderung in der Metrik des Formulars$g \to g + \delta g$Die Aktion ändert sich zu

$$\delta S = \int T^{ab} \delta g_{ab}$$ Nun haben wir unter Weyl-Transformationen $$g_{ab} \to e^{2\omega} g_{ab} \qquad \implies \qquad \delta g_{ab} = 2 \omega g_{ab}$$ Für Weyl-Transformationen $\omega$ist völlig willkürlich. Wenn wir dann eine konforme Transformation betrachten, transformiert sich die Metrik auch wie oben, außer dass $\omega = \frac{1}{d} \nabla_a \xi^a$Wo $\xi^a$ist ein konformer Tötungsvektor, d.h $\omega$nimmt eine bestimmte funktionale Form an.

So oder so, sowohl für konforme als auch für Weyl-Transformationen$\delta g_{ab} =2\omega g_{ab}$. Somit ist für jede dieser Transformationen die Variation in der Metrik

$$\delta S = 2 \int \omega T$$ Wenn also die Spur des Energie-Impuls-Tensors verschwindet, $T = 0$, Dann $$\delta S = 0$$ und wir haben eine Symmetrie unserer Theorie!

OK. Wir haben also gezeigt, dass wenn$T = 0$, dann ist die Theorie invariant unter Weyl- und konformen Transformationen. Was ist mit der umgekehrten Aussage? Können wir das aus Weyl und konformer Invarianz ableiten$T = 0$? Letzteres ist eine subtilere Frage.

Weyl oder konforme Invarianz impliziert

$$\int \omega T = 0$$ Nun, wenn wir über Weyl-Invarianz sprechen, gilt das Obige für Willkür $\omega$. In diesem Fall können wir das mit Sicherheit schlussfolgern $T = 0$(z.B. nimm $\omega \propto \delta^4(x)$oder eine geglättete Version davon und wir kommen sofort zu diesem Schluss.

Wenn man von konformer Invarianz spricht,$\omega$ist nicht willkürlich und wir können das nicht schlussfolgern$T$muss verschwinden. Zum Beispiel in einem flachen Hintergrund,$\omega$nimmt die Gestalt an$\lambda + a_\mu x^\mu$Wo$\lambda$Und$a_\mu$sind beliebige Konstanten. Daher können wir nur schlussfolgern, dass wir haben müssen

$$\int T = 0 ~, \qquad \int x^\mu T = 0$$ Diese beiden Bedingungen implizieren das nicht mehr $T = 0$. Daher ist gemäß diesem Argument die umgekehrte Aussage in konformen Feldtheorien nicht unbedingt wahr. Ich bin mir nicht sicher, ob es noch andere Argumente gibt, mit denen man das rechtfertigen kann $T$muss in CFTs verschwinden, aber bisher haben alle CFTs, ​​die wir untersuchen, diese $T = 0$.