Der Beweis des Energie-Impuls-Tensors für eine konforme Feldtheorie ist spurlos

Ein Trick zur Ableitung von Noether-Strömen, der häufig in der Literatur zur konformen Feldtheorie verwendet wird, ist der folgende: Angenommen, wir haben eine Aktion$S[\phi]$die die infinitesimale Symmetrie hat$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) + \epsilon \Delta \phi(x)$, Wo$\epsilon$ist ein kleiner Parameter der Transformation, wenn wir dann aktualisieren$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$Die Aktion ändert sich um

$$\delta S = \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon) j^\mu + (\text{boundary terms}) \tag{1}$$

Wo$j^\mu$ist der konservierte Strom für die ursprüngliche starre Symmetrietransformation, wenn$\epsilon \neq \epsilon(x)$.

Übersetzungen

Als Beispiel für Übersetzungen haben wir

$$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x-a) = \phi(x) - \epsilon^\mu \partial_\mu \phi(x) + O(\epsilon^2), \tag{2}$$

So$\Delta \phi(x) = - \partial_\mu \phi(x)$in diesem Beispiel. Daher sollte ich upgraden$\epsilon^\mu \rightarrow \epsilon^\mu(x)$um uns jetzt eine Art raumabhängige Übersetzung zu geben, von$(1)$würden wir finden

$$\delta S = \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon_\nu) T^{\mu \nu} + (\text{boundary terms}) \tag{3}$$

Wo$T^{\mu \nu}$ist der Energie-Impuls-Tensor.

Konforme Transformationen

An dieser Stelle beweisen viele Texte, dass eine Theorie konformsymmetrisch ist, wenn ihr Energie-Impuls-Tensor spurlos ist, siehe Gl. (4.34) der CFT von Di Francesco et al (die auch den Noether-Theorem-Trick Gl. (2.191) und Gl. (2.142) verwendet, die oben skizziert wurden). Zuerst nehmen wir an$T^{\mu \nu}$ist symmetrisch, also können wir schreiben

$$\delta S = \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon_\nu) T^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu) T^{\mu \nu}$$

Jetzt verwenden wir die Tatsache, dass für eine infinitesimale konforme Transformation$\partial_{(\mu} \epsilon_{\nu)} \propto \partial_\alpha \epsilon^\alpha g_{\mu \nu}$und deshalb

$$\delta S \propto \int \mathrm{d}^d x \partial_\alpha \epsilon^\alpha T^\mu_{\ \mu} \tag{4}$$

also wenn$T^\mu_{\ \mu} = 0$Dann$\delta S = 0$bis zu Randtermen und wir haben winkeltreue Symmetrie. Ich fühle mich mit diesem Beweis äußerst unwohl, da er dies durch einfaches Upgrade zu implizieren scheint$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$, Wo$\epsilon(x)$den Bedingungen einer konformen Transformation der Mannigfaltigkeit gehorcht, haben wir die Wirkung einer konformen Transformation auf unsere Felder, berücksichtigen aber nicht, wie sich die inneren Freiheitsgrade des Feldes transformieren. Genauer gesagt verwenden wir das Ergebnis$(1)$, dann upgraden$(2)$zu einer raumabhängigen Übersetzung mit$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$um das Ergebnis abzuleiten$(3)$. Daher Bezug nehmend$(2)$, ersetzen$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$bedeutet, dass wir unsere Variation der Felder so geändert haben

$$\delta \phi(x) =- \epsilon^\mu \partial_\mu \phi(x) \quad \rightarrow \quad \delta \phi(x)= - \epsilon^\mu(x) \partial_\mu \phi(x)$$

Dies ist ganz klar keine konforme Transformation der Felder, da davon ausgegangen wird, dass sie sich als Skalarfeld unter der konformen Gruppe transformieren. Beispielsweise sind Lorentz-Transformationen winkeltreu und transformieren via

$$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = R(\Lambda) \phi(\Lambda^{-1} x)$$

Wo$\Lambda$ist unsere Lorentz-Transformation und$R$ist eine Spin-Darstellung, also erhalten wir auch eine interne Transformation. In ähnlicher Weise gehen Skalierungstransformationen wie folgt vor

$$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \lambda^{-\Delta} \phi\left( \frac{x}{\lambda} \right)$$

Wo$\Delta$ist die Skalierungsdimension der Felder. Es reicht also nicht aus, einfach die Transformation an den Koordinaten zu definieren, wir müssen auch wissen, wie sich die internen Freiheitsgrade transformieren, weshalb es mir unangenehm ist, die daraus erhaltene raumabhängige Übersetzung zu interpretieren$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$als konforme Transformation.

Meine Frage

Aktualisieren Sie einfach unseren starren Übersetzungsparameter$\epsilon^\mu$zu einer Funktion$\epsilon^\mu(x)$allein reicht nicht aus, um die Übersetzung in eine konforme Transformation umzuwandeln, da wir die zusätzlichen Informationen der Gruppenaktion auf den Feldern benötigen. Wie wird also dieser obige Beweis (aus dem Buch CFT von Di Francesco et al) begründet?

Ich bin mir der Definition des Energie-Impuls-Tensors aus der Variation der Metrik voll und ganz bewusst , z der Hilbert-Tensor.