Ist die ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie in 4d auf klassischer Ebene konform invariant?

Question

Ist die ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie in 4d auf klassischer Ebene konform invariant?

Physik
Skaleninvarianz
lagrangescher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie
konforme-Feld-Theorie
Stress-Energie-Impuls-Tensor

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Früher habe ich geglaubt, dass die drei folgenden Aussagen wahr sind (nur auf der klassischen Ebene) :

Aus Skaleninvarianz folgt volle konforme Invarianz.
Skaleninvarianz liegt vor, wenn keine Dimensionsparameter in der Lagrange-Funktion vorhanden sind.
Der Energie-Impuls-Tensor für Skalen- oder konform-invariante Theorie ist spurlos.

Betrachtet man jedoch das spezielle Beispiel der $\phi^4$ theorie in 4d fange ich an zu zweifeln. Der Lagrange ist natürlich

L = \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - G ϕ^{4}, S = \int D^{4} X L

$\mathcal{L}=\frac12(\partial \phi)^2-g \phi^4,\quad S=\int d^4x \mathcal{L}$

Im 4d-Feld $\phi$ hat die Massendimension 1 und $g$ ist dimensionslos. Die Theorie ist skaleninvariant (wenn unter $x'=\lambda x$ Feld transformiert als $\phi'(x')=\lambda^{-1}\phi(x)$ ), gemäß Aussage (2).

Mir scheint jedoch, dass die Theorie unter Inversionen (ich werde Sie hier nicht mit meinen fehlgeschlagenen Versuchen belästigen) und ihrem Energie-Impuls-Tensor nicht invariant ist

T_{μ v} = \partial_{μ} ϕ \partial_{v} ϕ - δ_{μ v} (\frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - G ϕ^{4})

$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-\delta_{\mu\nu}\left(\frac12(\partial\phi)^2-g\phi^4\right)$ ist nicht spurlos

T_{μ}^{μ} = (1 - D / 2) (\partial ϕ)^{2} + D G ϕ^{4} .

$T^\mu_\mu=(1-d/2)(\partial\phi)^2+dg\phi^4.$

Meine Frage ist, welche der Behauptungen (1,2,3) tatsächlich wahr sind und wie das alles am Beispiel der funktioniert $\phi^4$ Theorie?

Ich betone noch einmal, dass mich hier nur die klassischen Aspekte interessieren.

Valter Moretti

Sie sollten den Spannungsenergietensor verwenden, den Sie erhalten, indem Sie die variable Ableitung der Aktion mit einer generischen nicht flachen Metrik nehmen

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ und derart, dass die Aktion auch den Korrekturterm enthält

ϕ^{2} R / 6

$\phi^2 R/6$ (Verschwinden in der flachen Raumzeit), was es im allgemeinen Sinne konform invariant macht. Wenn Sie setzen

g_{a b} = η_{a b}

$g_{ab}=\eta_{ab}$ (flache Raumzeit) in der endgültigen Formel für

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ , sehen Sie, dass ein Begriff jedoch bestehen bleibt (auch wenn

R = 0

$R=0$ ) eine verschwindende Spur erzeugt. Dieser verbesserte Spannungsenergietensor unterscheidet sich vom kanonischen.

Wetterbericht

Ich dachte, dass man die Aktion „kovariantisieren“ muss. Daher ist der Begriff gegeben

ϕ^{2} R / 6

$\phi^2R/6$ ist von selbst kovariant. Ich verstehe nicht, warum es enthalten sein muss? Und warum mit diesem bestimmten Koeffizienten usw.? Und was ist mit der Inversionsinvarianz, ist sie da? Wie verändert sich das Feld darunter? Oder könnten Sie vielleicht einfach eine Referenz zu diesem Thema geben?:) Danke!

Valter Moretti

Der Begriff

ϕ^{2} R / 6

$\phi^2R/6$ ist die notwendige für

d = 4

$d=4$ , sonst gibt es einen komplizierten Koeffizienten abhängig von

n

$n$ . Eigentlich bin ich mir nicht sicher, ob meine Idee im Wechselwirkungsfall funktioniert

g \neq 0

$g\neq 0$ . Sie könnten versuchen, einen Blick in das (sehr alte) Lehrbuch von Birrell und Davies über QFT in gekrümmter Raumzeit zu werfen ...

Valter Moretti

...Auch das Ende von S.448 von Walds Lehrbuch über GR, wo

T_{μ}^{μ} = 0

$T^{\mu}_\mu=0$ wird für einen symmetrisch erhaltenen Tensor in Bezug auf konforme Invarianz diskutiert.

Antworten (2)

Ist die ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie in 4d auf klassischer Ebene konform invariant?

Sie sollten den Spannungsenergietensor verwenden, den Sie erhalten, indem Sie die variable Ableitung der Aktion mit einer generischen nicht flachen Metrik nehmen $g_{\mu\nu}$ und derart, dass die Aktion auch den Korrekturterm enthält $\phi^2 R/6$ (Verschwinden in der flachen Raumzeit), was es im allgemeinen Sinne konform invariant macht. Wenn Sie setzen $g_{ab}=\eta_{ab}$ (flache Raumzeit) in der endgültigen Formel für $T_{\mu\nu}$ , sehen Sie, dass ein Begriff jedoch bestehen bleibt (auch wenn $R=0$ ) eine verschwindende Spur erzeugt. Dieser verbesserte Spannungsenergietensor unterscheidet sich vom kanonischen.
Ich dachte, dass man die Aktion „kovariantisieren“ muss. Daher ist der Begriff gegeben $\phi^2R/6$ ist von selbst kovariant. Ich verstehe nicht, warum es enthalten sein muss? Und warum mit diesem bestimmten Koeffizienten usw.? Und was ist mit der Inversionsinvarianz, ist sie da? Wie verändert sich das Feld darunter? Oder könnten Sie vielleicht einfach eine Referenz zu diesem Thema geben?:) Danke!
Der Begriff $\phi^2R/6$ ist die notwendige für $d=4$ , sonst gibt es einen komplizierten Koeffizienten abhängig von $n$ . Eigentlich bin ich mir nicht sicher, ob meine Idee im Wechselwirkungsfall funktioniert $g\neq 0$ . Sie könnten versuchen, einen Blick in das (sehr alte) Lehrbuch von Birrell und Davies über QFT in gekrümmter Raumzeit zu werfen ...
...Auch das Ende von S.448 von Walds Lehrbuch über GR, wo $T^{\mu}_\mu=0$ wird für einen symmetrisch erhaltenen Tensor in Bezug auf konforme Invarianz diskutiert.

M.Jo · Answer 1

(1) ist nicht wahr. Typische Gegenbeispiele sind Maxwells Dimensionstheorie $d \neq 4$ oder die Theorie der Elastizität in 2 Dimensionen . Siehe auch die andere Antwort.

(3) ist auch nicht ganz richtig. Die korrekte Aussage ist, dass eine Theorie unter Skalentransformationen invariant ist, wenn

T_{μ}^{μ} = \partial_{μ} K^{μ}

$T^\mu_\mu = \partial_\mu K^\mu$ für einige Betreiber

K^{μ}

$K^\mu$ (der in der anderen Antwort erwähnte Virialstrom) und ist unter speziellen konformen Transformationen invariant, wenn

T_{μ}^{μ} = \partial_{μ} \partial_{v} L^{μ v}

$T^\mu_\mu = \partial_\mu \partial_\nu L^{\mu\nu}$ für einige

L^{μ ν}

$L^{\mu\nu}$ . Dies wird in einem Artikel von Polchinski schön erklärt . Äquivalent, wenn

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ die obige Bedingung erfüllt, kann es "verbessert" werden, indem ein Begriff hinzugefügt wird, der seine Erhaltungseigenschaft nicht beeinträchtigt, aber die Spur aufhebt.

Explizit ist in Ihrem Beispiel der kanonische Energie-Impuls-Tensor

T_{C}^{μ v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial^{v} ϕ - η^{μ v} L = \partial^{μ} ϕ \partial^{v} ϕ - \frac{1}{2} η^{μ v} \partial_{ρ} ϕ \partial^{ρ} ϕ + G η^{μ v} ϕ^{4}

$T_c^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi + g \eta^{\mu\nu} \phi^4$ und der verbesserte Energie-Impuls-Tensor

\begin{aligned} T^{μ v} & = T_{C}^{μ v} - \frac{D - 2}{4 (D - 1)} (\partial^{μ} \partial^{v} - η^{μ v} ◻) ϕ^{2} \\ = \frac{1}{2 (D - 1)} [D \partial^{μ} ϕ \partial^{v} ϕ - η^{μ v} \partial_{ρ} ϕ \partial^{ρ} ϕ - (D - 2) ϕ \partial^{μ} \partial^{v} ϕ + (D - 2) η^{μ v} ϕ ◻ ϕ] + G η^{μ v} ϕ^{4} \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu} &= T_c^{\mu\nu} - \frac{d-2}{4(d-1)} (\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \square) \phi^2 \\ &= \frac{1}{2(d-1)} \left[ d \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi - (d-2) \phi \partial^\mu \partial^\nu \phi + (d-2) \eta^{\mu\nu} \phi \square \phi \right] + g \eta^{\mu\nu} \phi^4 \end{align}$ Beide Tensoren erfüllen die Erhaltungseigenschaft

\partial_{ν} T^{μ ν} = \partial_{ν} T_{c}^{μ ν} = 0

$\partial_\nu T^{\mu\nu} = \partial_\nu T^{\mu\nu}_c = 0$ beim Aufstellen der Bewegungsgleichung

◻ ϕ + 4 G ϕ^{3} = 0

$\square \phi + 4 g \phi^3 = 0$ Aber jetzt können Sie die Spur des verbesserten Energie-Impuls-Tensors überprüfen

T_{μ}^{μ} = \frac{D - 2}{2} ϕ ◻ ϕ + D G ϕ^{4}

$T^\mu_\mu = \frac{d-2}{2} \phi \square \phi + d g \phi^4$ verschwindet ebenfalls durch die Bewegungsgleichung in

d = 4

$d = 4$ .

(Hinweis: Dies ist ein leicht bearbeitetes Duplikat meiner Antwort auf eine andere Frage )

Prast · Answer 2

(2) und (3) sind wahr. (1) ist im Allgemeinen (für unitäre Theorien) nicht bekannt.

Es ist wahr in 2d (ich erinnere mich, dass ich ein Papier über ein ähnliches Ergebnis für 3d gesehen habe, aber ich kann es nicht finden), dass Skaleninvarianz und Einheitlichkeit konforme Invarianz implizieren. In allgemeinen Dimensionen trifft dies nur zu, wenn das Virial

v^{μ} = \frac{δ L}{δ (\partial^{ρ} ϕ)} (η^{μ ρ} Δ + ich S^{μ ρ}) ϕ

$V^\mu=\frac{\delta L}{\delta(\partial^\rho \phi)}(\eta^{\mu\rho}\Delta+i S^{\mu\rho})\phi$ kann als Divergenz geschrieben werden

v^{μ} = \partial_{a} σ^{a μ}

$V^\mu=\partial_\alpha \sigma^{\alpha\mu}$ Wenn dies zutrifft, können Sie den Spannungstensor so modifizieren

T_{μ}^{μ} = \partial_{μ} J_{D}^{μ}

$T^\mu_\mu=\partial_\mu j^\mu_D$ Wo

j_{D}

$j_D$ ist der Dilatationsstrom. Dann impliziert Skaleninvarianz konforme Invarianz. Siehe Abschnitt 4.2.2 von DiFrancescos Buch, um die vollständige Herleitung zu sehen. Wenn Sie den Energie-Impuls-Tensor so modifizieren können, dass er spurlos wird, ohne seine Erhaltung oder die Ward-Identität zu beeinträchtigen, ist die Theorie im Grunde genommen konform mit (3).

In Ihrem Beispiel können Sie das Virial berechnen und sehen, ob es als Divergenz von etwas anderem geschrieben werden kann. Wenn Sie Erfolg haben, ist es tatsächlich konform.

Weiterführende Literatur zu neuen Entwicklungen auf dem Gebiet der Skaleninvarianz $\Rightarrow$ konforme Invarianz:

http://arxiv.org/abs/1309.2921

http://arxiv.org/abs/1402.6322

http://arxiv.org/abs/1505.01152

Im Allgemeinen ist (1) falsch – es gibt Gegenbeispiele (Elastizitätstheorie, topologisch verdrehte Theorien).
@HansMoleman, ich würde nicht falsch sagen, weil es immer noch eine große Klasse von Theorien gibt, bei denen Skalierung konform bedeutet. Gegenbeispiele sind eher eine Ausnahme von der Regel und daher ist es interessant zu verstehen, warum sie sie brechen. Siehe zB den letzten Link, wo sie eine in eine CFT eingebettete SFT betrachten und zeigen, dass erstere trivial sein muss. Es heißt nicht, dass es keine nicht-trivialen SFTs gibt, sondern dass sie exotisch sind, wenn es sie gibt. (Eine Motivation dafür ist, dass RG-Fixpunkte winkeltreu sind).
@HansMoleman Ich könnte hinzufügen, dass ich einheitliche Theorien in Betracht ziehe. Ansonsten stimme ich deiner Aussage zu.

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