Partikelmasse bestimmt durch SO(D-2) vs. SO(D-1)

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich verstanden habe, worauf Sie sich beziehen, aber es klingt wie folgt. Um die zulässigen Darstellungen für ein massives Teilchen in herauszufinden$D$-dimensionalen Raum-Zeit-Dimensionen können wir in sein Ruhesystem heben. Dann haben wir den Rest$SO(D-1)$Drehungen, die uns im Ruhesystem des Teilchens lassen, und so ist es die Repräsentation von$SO(D-1)$die die Eigenschaften des Teilchens bestimmen. Also rein$D = 4$Unsere massiven Teilchen sind durch Darstellungen von gekennzeichnet$SO(3)$, was der gute alte Drehimpuls ist.

Wenn wir andererseits ein masseloses Teilchen haben, können wir es nicht in sein Ruhesystem bringen, da es kein Ruhesystem hat. Was wir uns also stattdessen ansehen müssen, sind die Transformationen, die seine Richtung festhalten, dh die Transformationen, die einen Nullstrahl fixieren. Das ist$SO(D-2)$(Wenn wir die Tatsache ignorieren, dass eine der Richtungen nicht kompakt ist, denke ich, dass es wirklich so ist$SO(D-3,1)$oder wie auch immer es genannt wird), und so sind es die Repräsentationen von$SO(D-2)$die die Zustände masseloser Teilchen bestimmen. In$D = 4$Wir haben, dass unsere masselosen Teilchen durch Darstellungen von gekennzeichnet sind$SO(2)$. Wenn wir also sagen, dass das Photon den Drehimpuls 1 hat, sprechen wir nicht von einer Repräsentation$SO(3)$. Es hat keinen Zustand mit$m = 0$- eine Längspolarisation - obwohl die$l=1$Darstellung von$SO(3)$hat drei Zustände$m=-1,0,1$.

Ich hoffe, das ist, wonach Sie gesucht haben.

Das hat damit zu tun, dass masselose Teilchen kein Ruhesystem haben. Wenn das Teilchen massiv ist, können wir es in dem Rahmen sehen, in dem sein 3-Impuls null ist. Seine Symmetriegruppe wird dann$SO(D-1)$(Die so entstehende Gruppe wird als „kleine Gruppe“ bezeichnet). Dann werden die Teilchen nach den Repräsentationen dieser kleinen Gruppe klassifiziert.

Wenn das Teilchen masselos ist, ist die einfachste Form, die der 4-Impuls durch Lorentz-Transformationen annehmen kann$(P_0,P_1,0,0)$Wo$P_0$ist die Zeitkomponente des 4-Vektors. Es gibt keinen Rahmen, in dem sich das Teilchen nicht bewegt. Dann wird die kleine Gruppe zur Gruppe der Transformationen von$D-2$Euklidischer Raum im Normalen$D=4$Fall handelt es sich um Translationen und Rotationen. Ich habe diese Gruppe auch so geschrieben gesehen$ISO(D-2)$. Die Teilchen entstehen also nun aus Repräsentationen dieser Gruppe.