Gemäß Impuls- und Drehimpulserhaltung kann man ableiten, dass der Cauchy-Spannungstensor symmetrisch ist und daher nur 6 unabhängige Komponenten hat. Ist es möglich, dass der Cauchy-Spannungstensor nicht symmetrisch ist, wenn eine oder beide Bedingungen verletzt werden?
Für komplexe Fluide, dh Fluide mit nichttrivialer mikroskopischer Struktur, muss der Spannungstensor nicht symmetrisch sein. Nematische Flüssigkristalle sind ein archetypisches Beispiel für solche Materialien.
Nematische Flüssigkristalle sind komplexe Flüssigkeiten, die eine Fernordnung in der molekularen Orientierung besitzen. Denken Sie zum Beispiel an feste Stäbe in Wasser. Wenn die Stäbchen ausreichend verdünnt sind, ist ihre Orientierung isotrop und unkorreliert. Aber wenn die Konzentration der Stäbchen über eine bestimmte kritische Konzentration ansteigt, beginnen sich die Stäbchen auszurichten und ihre Orientierung wird über makroskopische Entfernungen korreliert.
Der Grund, warum der Spannungstensor in diesem Fall nicht symmetrisch sein muss, liegt an der lokalen Orientierung, dh daran, dass die stäbchenförmigen Moleküle eine Richtung haben. Im Gleichgewicht sind alle Moleküle in die gleiche Richtung ausgerichtet. In einer Nichtgleichgewichtssituation, in der die Richtung einiger Moleküle nicht ausgerichtet ist, müssen zusätzliche Drehmomente vorhanden sein, die versuchen, diese Moleküle parallel zu ihrer Gleichgewichtsorientierung neu auszurichten. Diese zusätzlichen Drehmomente sind genau die asymmetrischen Beiträge des Spannungstensors.
Um auf Ihre Frage zurückzukommen, folgt die Symmetrie des Cauchy-Spannungstensors nur dann aus der Erhaltung des Drehimpulses, wenn es keine solchen zusätzlichen Drehmomente gibt.
Siehe zB: P.-G. de Gennes, Die Physik der Flüssigkristalle, 5.1.3.3.
Die Symmetrie dieses Tensors ergibt sich direkt aus der Standardbeziehung der Impulse von Kräften und der zeitlichen Ableitung des Drehimpulses. Wenn man also Standardhypothesen der Newtonschen Physik annimmt, stellt sich heraus, dass der Spannungstensor notwendigerweise symmetrisch ist. Symmetrieversagen ist eigentlich gleichbedeutend mit dem Versagen des üblichen Wechselspiels von Kraft- und Drehimpuls.
Die Symmetrie des Cauchy-Spannungstensors ist das Ergebnis der Anwendung der Drehimpulserhaltung auf ein infinitesimales Materialelement. Diese Ableitung geht davon aus, dass es keine Körpermomente gibt.
Wenn Körpermomente vorhanden sind, kann der Drehimpuls nur dann erhalten bleiben, wenn der Spannungstensor asymmetrisch ist. Dies ist offenbar wichtig bei der Spannungsanalyse für einen polarisierten dielektrischen Festkörper unter Einwirkung eines elektrischen Feldes, Materialien, bei denen die Molekularstruktur berücksichtigt wird (z. B. Knochen), Festkörper unter Einwirkung eines äußeren Magnetfeldes und die Versetzungstheorie von Metallen.
Weitere Informationen finden Sie auf den Seiten 159-160, 198 von Introduction to Continuum Mechanics von Lai, Rubin und Krempl.