Spannungs-Energie-Impuls-Tensor

Ich gehe fortan davon aus$c=1$. Betrachten Sie eine 3-bändige$\Delta \Sigma_0$ruhen mit dem Staub. Für den Restbeobachter (das ist seine Definition)$u^\mu$hat nur (Einheit) zeitliche Komponente.
Die Energie (dh die Masse), die diesem Teil des Systems zugeordnet ist, ist$\Delta \Sigma_0 \rho_0$. Der 4-Impuls dieses Anteils ist daher$\Delta p^\mu := \Delta \Sigma_0 \rho_0 u^\mu$.

Betrachten Sie nun einen anderen Beobachter mit vier Geschwindigkeiten$v^\mu$. Die Energie dieses Teils des Systems ist die zeitliche Komponente von$\Delta p^\mu$in seinem Bezugsrahmen berechnet. Mit anderen Worten ist es:

$$\Delta p^\mu v_\mu = \rho_0 \Delta \Sigma_0 u^\mu v_\mu$$ Uns interessiert jedoch die in diesem Bezugssystem berechnete Energiedichte . Es ist definiert als: $$\frac{\Delta p^\mu v_\mu}{\Delta \Sigma} = \rho_0\frac{\Delta \Sigma_0}{\Delta \Sigma} u^\mu v_\mu\:.$$ $\Delta \Sigma$ist das im betrachteten Bezugssystem gemessene Volumen des durch definierten Staubanteils $\Delta \Sigma_0$ ruhen mit dem Staub. Bekanntlich hat ein Festkörper ein Volumen $\Delta \Sigma_0$in seinem Ruhesystem hat es Volumen $$\Delta \Sigma = \Delta \Sigma_0\sqrt{1-v^2}$$ in einem Bezugssystem, in dem es eine Geschwindigkeit zu sehen gibt $v$. Die obige Beziehung kann umgeschrieben werden $$\Delta \Sigma_0 = \Delta \Sigma u^\nu v_\nu$$ Wo $u^\nu$ist der $4$-Geschwindigkeit des Körpers und jetzt $v^\nu$Die $4$-Geschwindigkeit des anderen Bezugssystems. Zurück zu unserem Staubsystem mit Feld von $4$-Geschwindigkeit $u^\nu$können wir schließen, dass die Energiedichte für einen generischen Beobachter mit $4$-Geschwindigkeit $v^\nu$ist, wie in Walds Buch korrekt angegeben: $$\frac{\Delta p^\mu v_\mu}{\Delta \Sigma} = \rho_0 \frac{\Delta \Sigma_0}{\Delta \Sigma} u^\mu v_\mu = \rho_0 u^\nu v_\nu u^\mu v_\mu = T^{\mu\nu} v_\mu v_\nu\:.$$

Wir können es aus dem Ruhesystem des Beobachters auswerten. Dann$v^\mu = (1, 0, 0, 0)$Und$u_\mu = (\gamma , -\gamma\mathbf v)$Wo$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$Und$\mathbf v$ist die Relativgeschwindigkeit. (Wir stellen$c = 1$.) Dann

$$T_{\mu\nu}v^\mu v^\nu = \rho_0 \gamma^2.$$ Jedoch, $\rho_0$ist die Dichte im Ruhesystem der Flüssigkeit. Im Ruhesystem des Beobachters ist die Dichte $\rho = \rho_0\gamma$Wegen Längenkontraktion! So ist die Energiedichte laut unserem Beobachter $$E = \rho\gamma = \frac{\rho}{\sqrt{1-v^2}} = \rho + \frac{\rho v^2}{2} + O(v^4).$$

Übrigens denke ich, dass jeder davon profitieren könnte, etwas über den Stress-Energie-Tensor in Misner, Thorne und Wheeler, Kapitel 5, zu lesen.