Ableitung des relativistischen Fluidspannungstensors

Question

Ableitung des relativistischen Fluidspannungstensors

Horus

Auf Wikipedia ist die Definition des relativistischen Fluidspannungstensors gegeben durch:

T_{μ v} := ρ u_{μ} u_{v} + P H_{μ v} + (Q_{μ} u_{v} + Q_{v} u_{μ}) + π_{μ v}

$T_{\mu \nu} := \rho u_{\mu} u_{\nu} + p h_{\mu \nu} + (q_{\mu} u_{\nu} + q_{\nu} u_{\mu} ) + \pi_{\mu \nu}$

Wo $h_{\mu\nu}$ ist der Projektionstensor, $\rho$ ist die Dichte, $p$ ist der Druck, $q$ ist der Wärmestromvektor und $\pi$ ist der viskose Schertensor. Aber wie wird das hergeleitet?

Kyle Kanos

Können Sie eine relevante Wikipedia-Seite verlinken? Die wenigen, die ich sehe (zB see this one und this one ), beinhalten nicht die

π

$\pi$ oder der

q

$q$ Bedingungen.

Benutzer154997

Das ist im Grunde Übung 22.7 des MTW!

Horus

@Kyle Kanos hier ist der Link en.wikipedia.org/wiki/Fluid_solution

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Ableitung des relativistischen Fluidspannungstensors

Können Sie eine relevante Wikipedia-Seite verlinken? Die wenigen, die ich sehe (zB see this one und this one ), beinhalten nicht die $\pi$ oder der $q$ Bedingungen.
@Kyle Kanos hier ist der Link en.wikipedia.org/wiki/Fluid_solution

Erik Jörgenfelt · Answer 1

Dies ist wirklich nur eine kovariante Zerlegung des Spannungs-Energie-Tensors mit treffenden Namen. Insbesondere bei einem normalisierten zeitartigen Vektorfeld $u^\mu$ (mit Konvention $u^\mu u_\mu = 1$ ), irgendein Tensor $S_{\mu\nu}$ kann zerlegt werden als:

S_{μ v} = S_{σ τ} u^{σ} u^{τ} u_{μ} u_{v} \pm H_{μ}^{σ} S_{σ τ} u^{τ} u_{v} \pm H_{v}^{τ} S_{σ τ} u^{σ} u_{μ} + \frac{1}{3} T R (S) H_{μ v} + Σ (S)_{μ v} + Ω (S)_{μ v},

$S_{\mu\nu} = S_{\sigma\tau}u^\sigma u^\tau u_\mu u_\nu \pm h_\mu{}^\sigma S_{\sigma\tau}u^\tau u_\nu \pm h_\nu{}^\tau S_{\sigma\tau}u^\sigma u_\mu + \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(S)h_{\mu\nu} + \Sigma(S)_{\mu\nu} + \Omega(S)_{\mu\nu},$ wobei das Vorzeichen des zweiten und dritten Terms davon abhängt, wie Sie den Projektionstensor definieren (

h_{μ ν} = g_{μ ν} - u_{μ} u_{ν}

$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - u_\mu u_\nu$ Erträge

+

$+$ während

h_{μ ν} = u_{μ} u_{ν} - g_{μ ν}

$h_{\mu\nu} = u_\mu u_\nu - g_{\mu\nu}$ Erträge

-

$-$ ), und wo

\begin{aligned} T R (S) & = H^{μ v} S_{μ v}, \\ Σ (S)_{μ v} & = H_{μ}^{σ} H_{v}^{τ} S_{(σ τ)} - \frac{1}{3} T R (S) H_{μ v}, \\ Ω (S)_{μ v} & = H_{μ}^{σ} H_{v}^{τ} S_{[σ τ]} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{Tr}(S) &= h^{\mu\nu}S_{\mu\nu}, \\ \Sigma(S)_{\mu\nu} &= h_\mu{}^{\sigma}h_\nu{}^\tau S_{(\sigma\tau)} - \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(S)h_{\mu\nu}, \\ \Omega(S)_{\mu\nu} &= h_{\mu}{}^\sigma h_\nu{}^\tau S_{[\sigma\tau]}. \end{align}$ Über

S_{(μ ν)} = \frac{1}{2} (S_{μ ν} + S_{ν μ})

$S_{(\mu\nu)} = \frac{1}{2}(S_{\mu\nu} + S_{\nu\mu})$ Und

S_{[μ ν]} = \frac{1}{2} (S_{μ ν} - S_{ν μ})

$S_{[\mu\nu]} = \frac{1}{2}(S_{\mu\nu} - S_{\nu\mu})$ . Da der Spannungs-Energie-Tensor symmetrisch ist,

T_{μ ν} = T_{(μ ν)}

$T_{\mu\nu} = T_{(\mu\nu)}$ , wir haben

Ω (T) = 0

$\Omega(T) = 0$ , Und

H_{μ}^{σ} T_{σ τ} u^{τ} = H_{μ}^{τ} T_{σ τ} u^{σ} \equiv \pm Q_{μ} .

$h_\mu{}^\sigma T_{\sigma\tau}u^\tau = h_{\mu}{}^{\tau}T_{\sigma\tau}u^{\sigma} \equiv \pm q_\mu.$ Indem man

π_{μ ν} \equiv Σ (T)_{μ ν}

$\pi_{\mu\nu} \equiv \Sigma(T)_{\mu\nu}$ ,

p \equiv \mp \frac{1}{3} T r (T)

$p \equiv \mp\frac{1}{3}\mathrm{Tr}(T)$ , Und

ρ \equiv T_{σ τ} u^{σ} u^{τ}

$\rho \equiv T_{\sigma\tau}u^\sigma u^\tau$ , erhalten wir den gewünschten Ausdruck (in Ihren Begriffen muss ein Fehler enthalten sein

q

$q$ ).

Die Deutung von $\rho$ als Energiedichte, $p$ als Druck, $q_\mu$ als Wärmevektor (oder äquivalent als Impulsdichte) und $\pi_{\mu\nu}$ als viskoser Schertensor (anisotrope Spannung) folgt aus der Definition des Spannungs-Energie-Tensors, dh durch Definition

\begin{aligned} T^{μ v} & = Fluss der e_{μ} -Komponente von 4-Impuls entlang e_{v} . \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu} &= \text{flux of the $\mathbf{e}_ \mu$-component of 4-momentum along $\mathbf{e}_\nu$}. \end{align}$

Bearbeiten: Wenn Sie stattdessen die sogenannte Leerzeichenkonvention verwenden, $u^\mu u_\mu = -1$ , Dann $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu$ und das Zeichen auf dem zweiten und dritten Glied werden $-$ , während $p \equiv \frac{1}{3}\mathrm{Tr}(T)$ , und wir definieren

H_{μ}^{σ} T_{σ τ} u^{τ} = H_{μ}^{τ} T_{σ τ} u^{σ} \equiv - Q_{μ} .

$h_\mu{}^\sigma T_{\sigma\tau}u^\tau = h_{\mu}{}^{\tau}T_{\sigma\tau}u^{\sigma} \equiv -q_\mu.$

Ja, in der Tat ist ein Fehler in q, danke. Die Wiki-Seite gibt jedoch den Projektionstensor als an $h_{\mu \nu} = g_{\mu \nu} + u_{\mu} u_{\nu}$
@Horus Das würde daran liegen, dass sie eine andere Vorzeichenkonvention verwenden und nehmen $u^\mu u_\mu = -1$ .
Übrigens könnten Sie einen Link für weitere Informationen zu dieser Zerlegung bereitstellen? Ich habe versucht, es selbst zu finden, aber ich kann es nicht finden.
@Horus Ich fürchte, ich tue es nicht. Die Orte, an denen ich es gesehen habe, erklären es nicht. Gibt es etwas, das Sie unklar finden?
Es ist nichts unklar, außer dass ich nicht weiß, warum die Zerlegung auf diese Weise durchgeführt wurde. Zum Beispiel würden einige eine Zerlegung basierend auf symmetrischen und antisymmetrischen Eigenschaften und spurlosen Teilen wie der Ricci-Zerlegung durchführen. Ich verstehe einfach nicht, warum diese Zerlegung funktioniert. Mein Verständnis ist, dass es den Spannungstensor entlang der vier Vektoren in orthogonale und senkrechte Komponenten aufteilt, aber ich versuche immer noch, die orthogonalen und senkrechten Komponenten in der Zerlegung zu finden und warum es so ist.
@Horus Ich würde wagen, dass die Zerlegung auf diese Weise erfolgt, weil sie die verschiedenen physikalischen Komponenten auf sinnvolle Weise trennt. Die Zerlegung ergibt den Spannungs-Energie-Tensor in Bezug auf Beobachterenergiedichte, Druck, Wärmefluss und anisotrope Spannung. Daher ist es einfach, sich auf Fluidmodelle zu beziehen. Außerdem sind diese Größen (mehr oder weniger) beobachtbar.

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