Ein allgemeiner symmetrischer 4x4-Tensor hat 10 unabhängige Komponenten. Wie viele Komponenten können wir im lokalen Inertialsystem frei vorschreiben?
Zum Beispiel ist relativistischer Staub im lokalen Trägheitsrahmen (also 1 Parameter) was gibt
Ein weiteres Beispiel ist perfekte Flüssigkeit mit (also 2 Parameter) was gibt
Daher scheint es mir, dass es im lokalen Inertialsystem nur 7 unabhängige Parameter gibt, da die anderen 3 Freiheitsgrade durch die Geschwindigkeit (die im Inertialsystem Null ist) gegeben sind. Ist das korrekt?
Nein, es ist sicherlich nicht möglich, jeden allgemeinen Tensor in Form von 7 Parametern zu schreiben. Der Raum möglicher Spannungs-Energie-Tensoren ist eindeutig 10-dimensional (10 Parameter), also können Sie es nicht 7-dimensional machen (7 Parameter). Die von Ihnen erwähnte spezielle Auswahl des Tensors ist isotrop in einem Rahmen – Behandlung auf Augenhöhe (sie sind invariant unter einem ). Aber allgemeine Spannungs-Energie-Tensoren sind nicht isotrop.
Sie können einen symmetrischen Tensor immer diagonalisieren , dh durch 4 Eigenwerte ersetzen, die ich nennen darf . Die Daten, die benötigt werden, um anzugeben, in welchen Koordinatensystemen der Tensor diagonal wird, sind jedoch äquivalent zu einem Element von – die Lorentz-Transformation benötigt, um von einer gegebenen Basis auf die Basis der Eigenvektoren der Matrix umzuschalten – die die verbleibenden 6 Parameter (die Dimension der Lorentz-Gruppe) hat, also wenn Sie sich auch die Informationen über die Richtungen merken wollen – und die Tatsache, dass Sie die Komponenten enthalten zeigt, dass Sie sie zählen möchten – dann sind Sie wieder bei 10 Parametern.
Dies wird natürlich verallgemeinert Maße. Ein symmetrischer Tensor hat Komponenten, die als zerlegt werden können Eigenwerte u Elemente einer antisymmetrischen Matrix, deren Potenzierung die richtige Drehung oder Lorentz-Transformation ergibt, für die der Tensor diagonalisiert.
Ondřej Čertík
Ondřej Čertík