Stress-Energie-Tensor in der Sprache der Differentialformen

Question

Stress-Energie-Tensor in der Sprache der Differentialformen

Physik
Metrik-Tensor
Tensorkalkül
Kontinuumsmechanik
Differentialgeometrie
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Rätselhai

Die Motivation dafür sind Größen wie der elektrische Strom $J$ in Maxwells Bewegungsgleichungen kann als differentielle 3-Form ausgedrückt werden , so dass die Kontinuitätsgleichung genauso geschrieben werden kann

D J = 0

$dJ=0$

Das ist wirklich schön, weil das alles ohne die Definition eines metrischen Tensors möglich ist!

Nun hat der Spannungs-Energie-Tensor eine ähnliche Kontinuitätsgleichung, wird aber im Allgemeinen als symmetrischer 2-Tensor dargestellt. Es kann also offensichtlich nicht als 3-Form dargestellt werden, aber kann es irgendwie potenziell in der Sprache der Differentialformen dargestellt werden, sodass kein metrischer Tensor definiert werden muss?

AccidentalFourierTransform

Äußere Derivate sind kostenlos: Sie benötigen keine zusätzliche Struktur, um sie zu definieren. Kovariante Ableitungen hingegen benötigen eine Verbindung, die metrisch kompatibel sein kann oder nicht. Wenn dies nicht der Fall ist, benötigen Sie nicht einmal eine Metrik, um sie zu definieren. Aber wenn Sie eine Metrik haben, dann ist die Metrik-kompatible Verbindung tatsächlich einzigartig, also in diesem Sinne besonders.

Parker

@AccidentalFourierTransform Kleine Korrektur: Die torsionsfreie Metrik-kompatible Verbindung ist einzigartig (Levi-Civita). Ich denke, Sie können mehrere torsive metrische kompatible Verbindungen haben. Aber sie sind eindeutig weniger natürlich, also steht Ihr Punkt.

AccidentalFourierTransform

@tparker wer kümmert sich überhaupt um Torsion? :-P

Toffomat

In Bezug auf die Notwendigkeit einer Metrik: Ich denke, Sie könnten argumentieren, dass der aktuelle Vektor das grundlegende Objekt ist, und dann beinhaltet Ihre aktuelle Dreierform einen Hodge-Stern (dh die Metrik). Andererseits könnten Sie die Dreierform als das grundlegende Objekt betrachten und das Hodge-Dual umgekehrt anwenden ...

Benutzer4552

@tparker: Danke für die Korrektur. Ich habe meinen Kommentar gelöscht.

Antworten (3)

Stress-Energie-Tensor in der Sprache der Differentialformen

Äußere Derivate sind kostenlos: Sie benötigen keine zusätzliche Struktur, um sie zu definieren. Kovariante Ableitungen hingegen benötigen eine Verbindung, die metrisch kompatibel sein kann oder nicht. Wenn dies nicht der Fall ist, benötigen Sie nicht einmal eine Metrik, um sie zu definieren. Aber wenn Sie eine Metrik haben, dann ist die Metrik-kompatible Verbindung tatsächlich einzigartig, also in diesem Sinne besonders.
@AccidentalFourierTransform Kleine Korrektur: Die torsionsfreie Metrik-kompatible Verbindung ist einzigartig (Levi-Civita). Ich denke, Sie können mehrere torsive metrische kompatible Verbindungen haben. Aber sie sind eindeutig weniger natürlich, also steht Ihr Punkt.
In Bezug auf die Notwendigkeit einer Metrik: Ich denke, Sie könnten argumentieren, dass der aktuelle Vektor das grundlegende Objekt ist, und dann beinhaltet Ihre aktuelle Dreierform einen Hodge-Stern (dh die Metrik). Andererseits könnten Sie die Dreierform als das grundlegende Objekt betrachten und das Hodge-Dual umgekehrt anwenden ...
@tparker: Danke für die Korrektur. Ich habe meinen Kommentar gelöscht.

Parker · Answer 1

Gute Frage. Ich vermute, dass die Antwort nein ist, weil der (Hilbert-)Stress-Energie-Tensor so definiert ist

T_{μ v} := - 2 \frac{δ L}{δ G^{μ v}} + G_{μ v} L,

$T_{\mu \nu} := -2 \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu \nu} \mathcal{L},$ was mir nahelegt, dass es grundlegend von der metrischen Struktur der Raumzeit abhängen könnte.

Bist du sicher, dass dein zweites Semester dort sein sollte? Die Standarddefinition von $T_{\mu\nu}$ ist nur die Ableitung des (Materie-) Lagrange-Operators in Bezug auf die Metrik, ohne den Diagonalterm. Vielleicht ist es eine Frage der Konventionen, und Sie verwenden eine, mit der ich nicht vertraut bin.
@AccidentalFourierTransform Sie können die beiden Terme zu einer einzigen Ableitung kombinieren, indem Sie a setzen $\sqrt{g}$ innerhalb der Ableitung: $-2/\sqrt{g}\ \partial(\sqrt{g} \mathcal{L}) / \partial g^{\mu\nu}$ . Das Ausführen der Produktregel eliminiert die $\sqrt{g}$ 's führt aber zu den beiden Begriffen in meiner Antwort.
Ach, ich verstehe. Es läuft im Grunde auf die Neudefinition hinaus $\mathscr L=\sqrt{g}\mathcal L$ .

Bence Racskó · Answer 2

Wenn Sie "vektorbündelwertige Differentialformen" einladen, können Sie dies definieren

T^{μ} = T_{v}^{μ} D X^{v}

$T^\mu=T^\mu_{\ \nu}dx^\nu$ als "vektorfeldbewertete 1-Form", dann haben Sie

D^{\nabla} ⋆ T^{μ} \sim \nabla_{v} T^{μ v} .

$d^\nabla\star T^\mu\sim\nabla_\nu T^{\mu\nu}.$

Die Metrik wird jedoch sowohl für die Definition von benötigt $T$ und die kovariante äußere Ableitung zu nehmen $d^\nabla$ und den Hodge Dual zu nehmen.

Beachten Sie, dass der Strom $j$ in deinem beispiel ist das natürlich ein vektorfeld, wie man aus dem strom ziehen kann

J^{μ} = \frac{δ S_{M}}{δ A_{μ}},

$j^\mu=\frac{\delta S_m}{\delta A_\mu},$ Wo

S_{m}

$S_m$ ist eine "Materie" Lagrange, die enthält

A

$A$ (es ist im Grunde die Feld-Teilchen-Wechselwirkung Lagrange). Also um die 1-Form zu erhalten

j

$j$ , Sie müssen es senken ( benötigt die Metrik ) und dann die aktuelle 3-Form erhalten

J

$J$ , müssen Sie den Hodge Dual nehmen

J = ⋆ j

$J=\star j$ ( benötigt die Metrik ).

Daher während die Erhaltungsgleichung

D J = 0

$dJ=0$ scheint metrisch unabhängig zu sein, ist es wirklich nicht.

Ist die erste Hälfte Ihrer Antwort nicht irgendwie trivial, weil Ihnen jeder Typ einfallen kann - $(p,q+1)$ Tensor überhaupt mit mindestens einem kovarianten Index als "Typ- $(p,q)$ -bewertete Einform" durch "Abgreifen" eines kovarianten Index?
Außerdem bin ich mit der zweiten Hälfte Ihrer Antwort nicht einverstanden. Ich denke, dass die Dreier-Form $J$ ist "natürlicher" zum Ausdrücken der Stromdichte als der Vektor $j$ . Die Stromdichte ist natürlich definiert als der Fluss elektrischer Ladung durch eine räumliche Fläche über die Zeit, dh man integriert sie über eine zeitartige Hyperfläche, um eine Gesamtladung zu erhalten. Dies ist natürlich für eine Dreierform, nicht für einen Vektor. Außerdem der Kopplungsterm $A_\mu j^\mu$ im Lagrange kann ausgedrückt werden in Bezug auf $J$ als $\star(A \wedge J)$ . Die Kontinuitätsgleichung ist also tatsächlich metrisch unabhängig.
Bei genauerer Überlegung braucht man den Hodge-Stern gar nicht, denn im Rahmen der Differentialformen wird die Lagrange-Dichte natürlich als a gedacht $D$ -Form statt eines Skalars.
@tparker Um die erste Ihrer Anfragen zu beantworten, können Sie dies zwar mit jedem beliebigen Tensorfeld tun, und hier ist es eine Art Betrug, aber es gibt viele Fälle, in denen es sehr natürlich ist , einige Tensorfelder als Differentialformen zu betrachten mit Werten in einem Vektorbündel. Betrachten Sie beispielsweise den Krümmungstensor als $\Omega^\mu_{\ \nu}=\frac{1}{2}R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}dx^\rho\wedge dx^\sigma$ ist ziemlich natürlich, und auf diese Weise können erhebliche Vereinfachungen erzielt werden. (Fortsetzung)
@tparker Um die zweite Ihrer Anfragen zu beantworten, hängt das wohl von Ihrer Sichtweise ab. Aus formaler/feldtheoretischer Sicht ist ein Strom eine Reaktion auf eine Art Symmetrie. Bei EM ist der Ladestrom die Reaktion auf Eichtransformationen, während der SEM-Tensor eine Art "Diffeomorphismusstrom" ist. Der Platz hier ist zu wenig für eine detaillierte Diskussion, aber der Punkt ist, dass wenn Sie einen Lagrange haben, der völlig unabhängig von Metriken ist und eine Symmetrie hat, der resultierende Strom metrisch unabhängig ist und ebenso sein Erhaltungssatz, aber (Fortsetzung)
@tparker ... metrisch abhängige Lagrangianer haben metrisch abhängige Ströme, deren Erhaltungsgesetze Sie scheinbar metrisch unabhängig formulieren können , aber die Metrik wird irgendwo auftauchen, wenn Sie tief genug gehen.
Was meinst du damit, dass "die Metrik auftaucht, wenn du tief genug gehst"? Das Denkmalschutzgesetz $dJ = 0$ kann auf einer glatten Mannigfaltigkeit ohne jegliche Metrik formuliert werden. Ich verstehe, dass es schwierig sein kann, in einem Kommentar zu antworten, aber ich verstehe Ihre Behauptung nicht gut genug, um daraus eine separate Frage zu machen.
@tparker Okay, dann versuchen wir das. Aus "elementarer" Sicht ist der Ladestrom 3-Vektor $\mathbf{j}=\rho\mathbf{v}$ , es hängt mit dem Geschwindigkeitsfeld des geladenen Kontinuums zusammen - um es also in eine 3-Form umzuwandeln, benötigen Sie eine Metrik. Aus feldtheoretischer Sicht erscheint der Strom als funktionale Ableitung einer Lagrange-Wechselwirkung. In jeder ausreichend "fundamentalen" Behandlung kann die Lagrange-Wechselwirkung nicht ohne Metrik definiert werden (sie entsteht aus einem geladenen KG-Feld oder einem Dirac-Feld, nicht aus a $A\wedge J$ ) Begriff.
Gutes Argument. Sie können eine Chern-Simons-artige Theorie auf einer glatten Mannigfaltigkeit formulieren, die wirklich überhaupt keine Metrik erfordert, aber ich denke, die Kopplung an jede Art von Materiefeld mit einer effektiven Stromdichte erfordert die Einführung einer Metrik.
@tparker Lustig, ich bin kürzlich um 180 ° gegangen (oder um 360 °, wenn Sie ein Elektron sind, denke ich), und jetzt halte ich auch 3-Form-Ströme für natürlicher.

Phönix87 · Answer 3

Mit Hilfe eines Killing-Vektorfeldes $\xi$ man kann die aktuelle 3er-Form definieren

J_{ξ} = ⋆ ι_{ξ} T

$J_\xi = \star\ \iota_\xi T$

von denen Sie dann die äußere Ableitung nehmen können, um das Erhaltungsgesetz zu erhalten

D J_{ξ} = 0.

$\operatorname d J_\xi = 0.$

Beachten Sie, dass die Metrik in beiden verborgen ist $T$ Und $\xi$ .

Nur eine kleine Bemerkung zur Geschäftsordnung, aber ich habe immer nur das auf Formularen definierte Innenprodukt gesehen, und ich habe es noch nie gesehen $T$ in Form-Form (sorry) – eher würde ich sagen, dass dies $\iota_\xi T$ Quantität wird korrekter als Kontraktion bezeichnet, wie Physiker sie normalerweise beschreiben: die Einsform $\xi^a T_{ab}$ .
Außerdem würde ich eher betonen, dass die Metrik (kaum) im Hodge-Dual verborgen ist.
... und definitiv in der Vorstellung eines Killing Fields.

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