Wie spiegeln sich die Symmetrien von gμνgμνg_{\mu\nu} in denen von TμνTμνT_{\mu\nu} wider?

Mittels Einstein-Feldgleichungen$T_{\mu \nu}$könnte durch geometrische Größen ausgedrückt werden, nämlich den Einstein-Tensor, und muss daher die gleichen Symmetrien wie Einstein- oder Ricci-Tensor haben.

Die FLRW-Metrik besitzt eine große Gruppe von Isometrien, die eine davon ist$SO(4)$,$ISO(3)$oder$SO(3,1)$für die Werte von$k=1,0,-1$. Die Bahnen dieser Gruppen sind Scheiben$t=\rm const$. Unter diesen Symmetrien$R_{00}$(und daher$T_{00}$) muss ein konstanter Skalar sein,$R_{0i}$(Und$T_{0i}$) muss ein invariantes 3-Vektorfeld sein und$R_{ij}$($T_{ij}$) muss ein invariantes symmetrisches Rang-2-3-Tensorfeld sein.

Es gibt keine unveränderlichen 3-Vektor-Felder unter Isometrien, die voll enthalten$SO(3)$Drehungen (da das Drehen eines Nicht-Null-Vektors um eine Achse, die nicht parallel dazu ist, ihn ändern würde), also$T_{0i}\equiv 0$. Und der invariante symmetrische Tensor$T_{ij}$muss proportional zur 3-Metrik sein (wenn dies nicht der Fall ist, gibt es an einem bestimmten Punkt (mindestens) einen Eigenvektor mit einem vom Rest verschiedenen Eigenwert und so a$SO(3)$Drehung, die diesen Eigenvektor ändert, würde auch den Tensor ändern).

Die Struktur des Spannungs-Energie-Tensors könnte weiter vereinfacht werden, wenn wir ihn mit einem oberen und einem unteren Index schreiben (seit$T^i_j\sim \delta ^i_j$):