Bedeutet Isotropie Homogenität?

Diese Frage stammt aus Übung 27.1 in Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler. Sie verlangten Folgendes:

Verwenden Sie einfache Gedankenexperimente, um zu zeigen, dass die Isotropie des Universums Homogenität impliziert.

Ich kenne Homogenität, da das Universum zu einer bestimmten Zeit überall gleich ist und Isotropie mit der Richtung zusammenhängt.

Ich frage mich, wie die Isotropie des Universums Homogenität impliziert.

Warum sollte es???? Ich kann Sie in die Mitte einer großen weißen Kugel stellen, und die Welt wird perfekt isotrop aussehen, aber sie wird alles andere als homogen sein.
Wie John Rennie ganz richtig betont, braucht es eine stärkere Bedingung als nur die Isotropie, damit ein Beobachter eine nicht-triviale Frage daraus machen kann. Als Experimentator, dem nur ein Ort zur Verfügung steht, springt mir das sofort als nicht trivialer Unterschied zwischen Theorie und Experiment ins Auge. :-)

Antworten (3)

Wenn MTW sagen, das Universum sei isotrop, meinen sie, dass es überall isotrop ist , dh an allen Punkten im Universum.

Es ist einfach, Universen zu konstruieren, die an einem einzigen Punkt isotrop und nicht homogen sind, zum Beispiel CuriousOnes Vorschlag eines Balls mit einer Dichte, die eine Funktion der Entfernung vom Zentrum ist. Dieser Ball ist jedoch nur isotrop, wenn Sie sich in der Mitte des Balls befinden. Wenn Sie verlangen, dass die Kugel überall isotrop ist, benötigen Sie notwendigerweise, dass sie homogen ist.

MTW gibt Ihnen tatsächlich die Antwort (in technischer Form) auf Übung 27.1 im Absatz direkt über der Übung neben der Randnotiz:

Isotropie impliziert fließende Weltlinien orthogonal zu homogenen Hyperflächen

Dies hängt eng mit der Tatsache zusammen, dass in einem euklidischen Raum Koordinatentranslationen erzeugt werden können, indem zwei aufeinanderfolgende Rotationen um verschiedene Punkte durchgeführt werden, da Isotropie im Wesentlichen Rotationsinvarianz und Homogenitätstranslationsinvarianz ist. Angenommen, wir haben eine Rotation R ( R → 0 ) hinsichtlich R → 0 definiert durch die Aktion an einem beliebigen Punkt R → als

R ( R → 0 ) R → = R → 0 + R ( R → − R → 0 )

Dann klar R ( R → 0 ) R → 0 = R → 0 . Der Einfachheit halber verwenden wir einfach R um eine Drehung in Bezug auf den Ursprung zu bezeichnen. Dann für jeden Punkt R → , zwei aufeinanderfolgende Drehungen um den Ursprung und R → 0 jeweils geben würden

R − 1 ( R → 0 ) R R → = R → 0 + R − 1 ( R R → − R → 0 ) = R → + ( ICH − R − 1 ) R → 0

Dann für jede Übersetzung A → , können wir das Koordinatensystem so wählen, dass A → = ( A , 0 , 0 ) , dann einstellen

R − 1 = ( − 1 1 1 )

Und R → = ( A / 2 , A / 2 , 0 ) , wir bekommen

R → + A → = R → + ( ICH − R − 1 ) R → 0 = R → 0 + R − 1 ( R R → − R → 0 ) = R − 1 ( R → 0 ) R R →

Wenn der Raum dann unter Drehungen in Bezug auf einen beliebigen Punkt invariant ist, wird er unter Translation invariant sein. In gekrümmten Raumzeiten müssen wir anstelle globaler Rotationen Killing-Vektoren berücksichtigen. Und ähnlich impliziert die Existenz von Killing-Vektoren für Isotropie an jedem Punkt die Existenz von Killing-Vektoren für Homogenität. Einzelheiten finden Sie in Kapitel 13 von Weinbergs außergewöhnlichem Buch „ Gravitation and Cosmology“ .

Ein paar Jahre zu spät hier, aber ich denke, eine klare Denkweise darüber ist, dass zwei beliebige Punkte im Universum, A und B, durch einen großen Kreis um C verbunden werden. Wenn das Universum an Punkt C isotrop ist, dann die Punkte A und B müssen gleich aussehen. Diese Logik kann dann auf zwei beliebige Punkte im Universum ausgedehnt werden.

Diese Logik stützt sich eindeutig auf das, was John Rennie betonte, dass das Universum überall isotrop sein muss.

zwei beliebige Punkte im Universum, A und B, werden durch einen großen Kreis verbunden, der um C gezogen wird. Es gibt mehrere Dinge, die für mich daran keinen Sinn ergeben. "Großkreis" ist eine Terminologie, die für sphärische Geometrie verwendet wird, aber die räumliche Topologie unseres Universums ist wahrscheinlich nicht sphärisch. Oder meinst du die Himmelskugel von C aus gesehen? Außerdem ist mir nicht klar, ob Sie sich C als einen speziellen Punkt (wenn ja, diesen?) vorstellen oder ob Ihnen ein Quantor fehlt: ... für jeden Punkt C? gibt es einen Punkt C? Ist C der Ort eines Beobachters?
Ich implizierte keine spezielle Geometrie, nur einen Kreis, der die Punkte verbindet. Und so wie ich darüber nachdenke, passt es am besten zu "Es gibt einen Punkt C", ich habe damit keinen besonderen Punkt im Universum gemeint. Vielen Dank für Ihre Korrekturen.
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