Wird unter der Annahme einer festen Gesamtmasse die Raumzeitgeometrie außerhalb einer sphärischen Massenverteilung von der Form (der Verteilung) abhängen?

Dank des Satzes von Birkhoff wissen wir, dass das Feld außerhalb einer kugelsymmetrischen isolierten Masse immer die Schwarzschild-Metrik sein wird. Mit anderen Worten, die Metrik sieht direkt außerhalb der Oberfläche des Objekts so aus

$$d s^2 = -\left(1 - \frac{2 M}{r}\right) d t^2 + \frac{1}{1 - 2M/r} dr^2 + r^2 d \Omega^2$$ Wo $d\Omega^2 = d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d \varphi^2$ist das Flächenelement einer Einheitskugel. In gewissem Sinne sieht die Geometrie außerhalb von sphärischen Objekten in der Relativitätstheorie gleich aus, man ändert nur die Position der Oberfläche und den Wert von $M$.

Sie werden jedoch feststellen, dass selbst bei gleicher Anzahl von Teilchen (z. B. Protonen und Elektronen) eine feste Gesamtruhemasse vorliegt$M_0$und quetschen Sie es in einen Körper mit unterschiedlichem Radius, dem resultierenden Wert des Parameters$M$in der Metrik kann etwas anders sein.

Wenn wir zum Beispiel über einen Körper sprechen, der aus einer perfekten Flüssigkeit besteht, können wir die Analyse von Tolmann, Oppenheimer und Volkoff verwenden , um zu sehen, dass die Gravitationsmasse so verstanden werden kann, dass sie aus drei Beiträgen besteht

$$M = M_0 + \delta M_\mathrm{thermo} + \delta M_\mathrm{binding}$$ $\delta M_\mathrm{thermo}$entspricht der inneren thermodynamischen Energie des Gases und $\delta M_\mathrm{binding}$ist die Gravitationsbindungsenergie. Wenn wir uns einem Newtonschen Regime nähern, kann die Bindungsenergie einfach als die Newtonsche Bindungsenergie (geteilt durch $c^2$) $$\delta M_\mathrm{binding} = -\int_0^\mathrm{surf.} \frac{G m_0(r) \rho_0 }{r c^2} 4 \pi r^2 dr$$ Wo $\rho_0$ist die Ruhemassendichte, und $m_0(r) = \int_0^r \rho_0(r') 4\pi r'^2dr'$ist die in der Radiuskugel enthaltene Ruhemasse $r$.