Raumzeitdiagramm für das Robertson-Walker-Universum

Es ist nicht trivial, dies aus der Beschreibung von Sean Carroll zu entnehmen. Wie Sie bereits erwähnt haben, kann die FRW-Metrik eine einfache Lösung haben$a = t^p$für$(0<q<1)$. (Die Metrik, die Sie angegeben haben, hat nur a (t) anstelle von$a^2(t)$) Das sehen wir z$t\rightarrow 0$, verschwindet der Skalierungsfaktor. Das beantwortet aber nicht deine Frage, warum sich die Lichtkegel nicht so treffen$t\rightarrow 0$.

Wir müssen also berechnen, wie sich die Neigung des Lichtkegels an der Grenze des Verschwindens ändert$t$. Für Nullpfade (unter Berücksichtigung nur der Richtung$x$), ist die Kegelsteigung gegeben durch

$$\begin{equation} ds^2 = 0 = -dt^2 + a^2(t)dx^2 \implies \frac{dx}{dt} = \pm \frac{1}{t^q} \end{equation}$$

Nun sieht man das z$t=0$, gibt es eine Singularität (eine zeitähnliche Singularität). Wir können nicht nehmen$q=0$wegen der definition. Wenn wir könnten$q=0$, dann gäbe es keine Singularität. Aufgrund der zulässigen Werte von q sind die Lichtkegel tangential zur Singularität. Das ist für ein kleines$t>0$Sie haben eine asymptotische Tangente. Dies markiert die geodätische Unvollständigkeit, so dass die Null-Geodäten nicht in die Vergangenheit ausgedehnt werden können.

Der Trick ist, wir können eine konforme Transformation durchführen und sehen, dass, obwohl die Neigung des Lichtkegels in der Koordinatenzeit tangential verläuft ($\tau$), bräuchten wir eine endliche konforme Zeit, um die Singularität zu erreichen. Dies markiert den Teilchenhorizont (per Definition). Siehe das Bild hier . Es gibt andere Weltlinien von Partikeln, die die Vergangenheit des Kegels nicht schneiden.