Einstein-Tensor in Friedmann-Gleichungen: Wo ist das fehlende c2c2c^2?

Question

Einstein-Tensor in Friedmann-Gleichungen: Wo ist das fehlende c2c2c^2?

Einheiten
Physik
Kosmologie
Metrik-Tensor
generelle Relativität
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Vinzenz

Ich möchte die verschiedenen Formen der Friedmann-Gleichungen MIT demonstrieren $c^2$ Faktoren. Alles ist in Ordnung ... abgesehen davon, dass mir eine fehlt $c^2$ Faktor irgendwo.

In allem folgenden $\rho$ ist die Massendichte und nicht die Energiedichte $\rho_{E}=\rho c^2$

Wenn wir uns die französische Wikipedia-Seite über die Friedmann-Gleichungen ansehen , haben wir gemäß der Demonstration des letzten Absatzes:

Die Einsteinsche Feldgleichung: $G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

Der Einstein-Tensor: $G_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} G_{00}&0&0&0 \\ 0&G_{ij}&0&0 \\ 0&0&G_{ij}&0 \\ 0&0&0&G_{ij} \end{pmatrix}$

Der Energie-Impuls-Tensor: $T_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} T_{00}&0&0&0 \\ 0&T_{ij}&0&0 \\ 0&0&T_{ij}&0 \\ 0&0&0&T_{ij} \end{pmatrix}$

mit :

$G_{00} = 3H^2+3\frac{k}{a^2}c^2$

$G_{ij} = -\left(3\frac{H^2}{c^2}+2\frac{\dot{H}}{c^2}+\frac{k}{a^2}\right)$

$T_{00} = \rho c^2$

$T_{ij} = -P$

Aber : $T_{00}$ und $T_{ij}$ haben die gleiche physikalische Einheit ( $P$ und $\rho c^2$ sind in $kg.m^{-1}.s^{-2}$ ) wohingegen $G_{00}$ und $G_{ij}$ hat nicht die gleiche Einheit: in der ersten haben wir $H^2$ und im zweiten haben wir $\frac{H^2}{c^2}$ zum Beispiel.

Meine Frage ist : Gibt es einen Fehler in der französischen Wikipedia-Demonstration? Wo ist das Vermisste $c^2$ ? Wo finde ich eine gute Demonstration mit der $c^2$ Faktoren?

EDIT: Vielleicht habe ich etwas gefunden. Zu Beginn der Demonstration sagt der Autor, dass die Metrik die Form hat:

$ds^2=c^2dt-a^2\gamma_{ij} dx^i dx^j$

wo $\gamma_{ij}$ hängt von der Koordinatenwahl ab. Diese Formel erscheint mir ok.

Aber dann schreibt er das:

$g_{00} = c^2$

$g_{ij} = -a^2\gamma_{ij}$

Ich habe Zweifel $g_{00}$ : ist es gleich $c^2$ oder zu $1$ ? In der Tat, wenn wir uns entscheiden zu schreiben $g_{00} = c^2$ , dann $T_{00} = \rho c^4$ nicht wahr?

Benutzer11547

Ich werde keine Antwort anbieten, nur den Kommentar, dass, wenn Sie Gleichungen sehen, denen Konstanten fehlen, die Chancen stehen, dass sie auf 1 gesetzt wurden und mit Planck-Einheiten arbeiten . Dies ist definitiv eine Quelle der Verwirrung, wenn Autoren ohne Vorwarnung wechseln oder dies nicht im Voraus sagen

Antworten (4)

Einstein-Tensor in Friedmann-Gleichungen: Wo ist das fehlende c2c2c^2?

Ich werde keine Antwort anbieten, nur den Kommentar, dass, wenn Sie Gleichungen sehen, denen Konstanten fehlen, die Chancen stehen, dass sie auf 1 gesetzt wurden und mit Planck-Einheiten arbeiten . Dies ist definitiv eine Quelle der Verwirrung, wenn Autoren ohne Vorwarnung wechseln oder dies nicht im Voraus sagen

Robert McNees · Answer 1

Ich habe diese Gleichungen kürzlich neu abgeleitet, wobei alle dimensionsbehafteten Konstanten vorhanden sind. Ihre letzte Aussage im "Edit" ist richtig: $T_{00} = \rho_{E}\,c^{2} = \rho\,c^{4}$ . Es ist leicht, Faktoren aus den Augen zu verlieren $c$ in Berechnungen wie dieser; der übliche Übeltäter verwechselt $t$ und $x^{0} = c\,t$ , und $\partial_t$ und $\partial_0 = c^{-1}\,\partial_{t}$ . Zum Beispiel, $g_{tt} = c^{2}\,g_{00}$ .

Willie Wong · Answer 2

Eigentlich, im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie, $c$ hat keine (physikalische) Einheit.

Etwas präziser, $c$ ist Meter pro Sekunde. Meter ist ein Längenmaß. Sekunde ist ein Zeitmaß. In GR haben wir Raum und Zeit vereinheitlicht, und daher sind ein Meter und eine Sekunde unterschiedliche Maßeinheiten für "dasselbe". Die Nummer $c$ ist ein reiner Skalar, der nur ein Umrechnungsfaktor ist.

Betrachten Sie in alltäglicheren Situationen die Einheit "Millimeter pro Meter". Dies hat keine physikalische Einheit und ist ein reiner Skalar, der 1000 entspricht. Er stellt einen Umrechnungsfaktor zwischen zwei verschiedenen Arten der Messung derselben physikalischen Einheit dar. $c$ ist so in der relativität.

Nun, ob es die richtigen Nummern sind $c^2$ Herumschweben ist ein anderes Thema; Ich habe die Berechnungen im Wiki selbst nicht überprüft, kann also nichts sagen. Aber wegen der Identifizierung von Raum und Zeit kann man die Dimensionsanalyse nicht verwenden, um zu überprüfen, ob die Anzahl von $c$ s sind richtig, da $c$ ist im Wesentlichen dimensionslos.

Sonstige Nerdigkeit · Answer 3

Diese Gleichungen werden oft in Einheiten mit c = 1 durchgeführt, um die Dinge einfacher zu machen, in diesem Fall:

c^{2} = 1

$c^2=1$

Maskierter Magier · Answer 4

Ich verstehe Roberts Antwort nicht, die auf der Dimensionsanalyse basiert.

$T_{00}$ hat Dimensionen der Energiedichte. Er hat dies schriftlich festgestellt $\rho_E$ was eine Energiedichte ist. Weiter fügte er ihr dann einen Faktor der Lichtgeschwindigkeit im Quadrat hinzu als

T_{00} = ρ_{E} c^{2}

$T_{00} = \rho_E c^2$

Für mich ist das falsch. Eher:

T_{00} = ρ_{E} = ρ c^{2}

$T_{00} = \rho_E = \rho c^2$

Ist richtig.

Sie haben auch gerechtfertigt

T_{00} = ρ c^{4}

$T_{00} = \rho c^4$

Durch falsche Konsequenz. Die Dimensionen sind einfach falsch in Bezug auf die Ihnen gegebenen Antworten. Die Energiedichte wird normalerweise definiert, indem sie als Massendichte mit einem Koeffizienten von geschrieben wird $c^2$ die entsprechenden Dimensionen auszugleichen.

Wobei sich letzteres auf eine Massendichte bezieht. Also nein, die vorherigen Kommentare sind falsch und der Wiki-Artikel ist richtig.

Außerdem haben Energiedichte und Druck die gleichen Einheiten, sodass der Wiki-Artikel keinen Widerspruch enthält, wie vom OP vorgeschlagen.

Bearbeiten: Außerdem $g_{00} =c^2$ ist generell falsch. Die Einheiten stimmen fast (aber normalerweise schreiben wir es als $\phi$ gewichtet nach $c^2$ ), aber die Metrik wird normalerweise geschrieben als

$g_{00} = -(1 + \frac{\phi}{c^2})$

Robert hat Recht, wenn es darum geht, die Lichtgeschwindigkeit im Zusammenhang mit den partiellen Ableitungen zu verfolgen. Wenn es sich um ein Objekt handelt, das auf der einen Seite Raumdimensionen und auf der anderen Zeit hat, muss es durch den Koeffizienten der Lichtgeschwindigkeit auf der Raumkomponente festgelegt werden. Konventioneller ist es jedoch, einfach eine Umkehrung der Lichtgeschwindigkeit auf den zeitlichen Teil zu setzen, damit er raumähnliche Einheiten hat, einfach so:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}$

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

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Vinzenz

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