Warum gilt für f(R)f(R)f(R)-Theorien ∇μTμν=0∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0?

Diffeomorphismusinvarianz der Materiewirkung$S_m$führt (über den 2. Satz von Noether ) zur Identität$^1$

$$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0, \qquad T^{\mu\nu}~:=~\mp\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \tag{1}$$

vgl. zB Art.-Nr. 1. [Hier die$\stackrel{m}{\approx}$Symbol bedeutet Gleichheit modulo matter eoms. Die Verbindung$\nabla$ist die Levi-Civita-Verbindung. Die Minkowski-Zeichenkonvention ist$(\pm,\mp,\mp,\mp)$.]

Verweise:

1. RM Wald, GR; Anhang E.1.

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$^1$Beachten Sie, dass Gl. (1) ist an sich kein Erhaltungssatz . Um ein Erhaltungsgesetz zu erhalten, benötigen wir ein Killing-Vektorfeld, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Bedenken Sie, dass Sie die Feldgleichungen durch Einstellung erhalten$\delta S=0$, Wo$S$ist die ergriffene Maßnahme.

Denken Sie daran, dass die Aktion für f(R)-Theorien so lautet:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,f(R)+\mathcal{L}_m\right)$

und ursprüngliche Einstein-Feldgleichungen werden nur auf der linken Seite der Gleichheit ("geometrische Terme") modifiziert:

$\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}R_{\mu\nu}-\dfrac{f(R)}{2}g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu}g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}-\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right]\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$.

Für die Allgemeine Relativitätstheorie lautet die Einstein-Hilbert-Aktion:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,R+\mathcal{L}_m\right)$

und so bekommt man berühmte, altbekannte Einstein-Feldgleichungen:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

wobei wir, wie Sie sehen können, noch nicht in die kosmologische Konstante (oder die Vakuumenergiedichte) einsteigen.

Sie können die Definition des Stress-Energie-Tensors nehmen als:

$T_{\mu\nu}=\,-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\,\delta\,\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m\right)}{\delta\,g^{\mu\nu}}$

für jede Aktion gegeben wo$\mathcal{L}_m$ist der Lagrangian der Materie, die in eurer Raumzeitkonfiguration vorhanden ist, was letztendlich dem Spannungs-Energie-Tensor entspricht.

Von oben sehen Sie, dass die "Energie-Impuls-Terme" auf der rechten Seite der Gleichungen für beide Theorien gleich sind und in den Aktionen manuell hinzugefügt werden. Typischerweise erhalten wir Einstein-Feldgleichungen, bei denen die EH-Aktion vernachlässigt wird$\mathcal{L}_m$für Vakuum:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=0\,$für$\,\mathcal{L}_m=0$

Aus der Definition der Wirkung für f(R) wird weiterhin der Erhaltungssatz eingehalten.