Schwarzschild-Metrik im expandierenden Universum

In Schwarzschild-Koordinaten ist das Linienelement der Schwarzschild-Metrik gegeben durch:

D S 2 = ( 1 − R S R )   C 2 D T 2 − ( 1 − R S R ) − 1 D R 2 − R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ   D ϕ 2 ) .

In der asymptotischen Grenze wo R >> R S die Schwartzschild-Metrik wird zu:

D S 2 = C 2 D T 2 − D R 2 − R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ   D ϕ 2 ) ,

das ist die Minkowski-Metrik der flachen Raumzeit.

Beobachtungen zeigen jedoch, dass echte astronomische Objekte in eine expandierende räumlich flache FRW-Metrik eingebettet sind, die in Polarkoordinaten gegeben ist durch:

D S 2 = C 2 D T 2 − A 2 ( T )   D R 2 − A 2 ( T )   R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ   D ϕ 2 ) .

Daher sollte die Schwarzschild-Metrik vielleicht gegeben sein durch:

D S 2 = ( 1 − R S R )   C 2 D T 2 − A 2 ( T ) ( 1 − R S R ) − 1 D R 2 − A 2 ( T )   R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ   D ϕ 2 ) .

Vielleicht wäre diese Metrik nur nützlich, um ein Gravitationssystem zu beschreiben, dessen Größe mit dem Universum selbst vergleichbar ist?

FWIW, die Schwarzschild-Metrik ist die Vakuumlösung für eine statische , kugelsymmetrische Raumzeit. Denk darüber nach.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/2110/2451 und darin enthaltene Links.
Haben Sie versucht, das in den Einstein-Tensor einzustecken und herauszufinden, was der Spannungsenergietensor und die Gleichungen für a(t) wären?

Antworten (3)

Die Anpassung der Schwarzschild-Metrik an die Metrik eines expandierenden Universums ist nicht trivial. Einstein und Straus haben es in den 1940er Jahren versucht, aber ihre Arbeit enthält, soweit ich mich erinnere, einen Fehler. Eine Lösung wurde 1956 von C. Gilbert im MNRAS gegeben:

http://adsabs.harvard.edu/full/1956MNRAS.116..678G

Wie gesagt, die Lösung ist nicht trivial.

reale astronomische Objekte sind in eine expandierende räumlich flache FRW-Metrik eingebettet

Nicht wirklich. Wenn Sie sich den Kosmos als Materieklumpen auf einem FRW-Hintergrund vorstellen, zählen Sie dieselbe Materie zweimal: einmal in einer vollkommen gleichmäßigen Verteilung und dann noch einmal an ihrem tatsächlichen verklumpten Ort.

Sie können mit FRW beginnen, wenn Sie planen, eine sogenannte Schweizer Käselösung zu konstruieren , indem Sie kugelförmige Materieregionen vollständig entfernen und durch inhomogene kugelsymmetrische Geometrien mit derselben Masse ersetzen (z. B. Schwarzschild-Schwarze Löcher). In diesem Fall zählen Sie nichts doppelt, Sie behandeln nur einen Teil der Materie als homogen und einen Teil als verklumpt.

Wenn Sie den ganzen Kosmos aus verklumpter Materie bauen wollen, dann fangen Sie nicht mit FRW an. Man beginnt mit einem Minkowski- oder (Anti-) de Sitter-Vakuum und endet mit einer FRW-Geometrie, wenn man die ganze Materie hinzufügt. FRW ist im Wesentlichen ein Bündel von Schwarzschild-Patches, die zusammengenäht und dann geglättet werden, um die lokalen Unebenheiten zu entfernen.

Wenn Sie tatsächlich (1-2M/ra(t)) in Ihre Koeffizienten für die dt- und dr-Terme in Ihrer Metrik schreiben, haben Sie die McVittie-Metrik, die 1933 vorgeschlagen wurde. Obwohl sie eine exakte Lösung der Einstein-Gleichungen ist , gab es in der Literatur viel Verwirrung darüber, was es darstellt. Sehen:

https://arxiv.org/abs/1003.4777

Schwarzschild-Metrik im expandierenden Universum
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