Metrik zur Beschreibung einer expandierenden Raumzeit aus Koordinaten, die die Perspektive eines lokalen Beobachters widerspiegeln

(Zweieinhalb Jahre zu spät – schätze, das ist durch das Raster gefallen.)

Nein, das ist nicht möglich , außer in besonderen Fällen. Und das FLRW-Modell unseres tatsächlichen Universums ist keiner dieser Sonderfälle.

Der kurze Beweis ist: Ihre zweite Metrik hat einen zeitähnlichen Killing-Vektor, während FLRW dies im Allgemeinen nicht tut.

Erklären:

Es gibt skalare Größen, die bei jeder Raum-Zeit-Koordinatentransformation unveränderlich sind. Eine dieser Größen ist$\rho c^2 - 3p$, Wo$\rho$ist die lokale Massendichte und$p$dem lokalen Druck (wenn der Druck isotrop ist, sonst ersetzen$3p$mit der Summe der drei Hauptdrücke).

Nun, im üblichen FLRW-Modell unseres Universums nimmt dieser Skalar mit fortschreitender Zeit ab, wenn Materie (gewöhnliche und dunkle) verdünnt wird. Sie fragen sich vielleicht, ob es einen Bezugsrahmen gibt, in dem dies nicht der Fall ist. Nun, wir können die Unterräume heraussuchen, über denen dieser Skalar konstant ist. Aber es stellt sich heraus, dass diese raumähnlich sind. (Tatsächlich kennzeichnet dies „mitbewegte Zeit“.) Es kann keinen zeitähnlichen Beobachter geben, der diesen Skalar als konstant ansieht.

Ihre vorgeschlagene transformierte Metrik ist unabhängig von$t$. Gemeint ist der Beobachter$(t,0,0,0)$sieht den von mir erwähnten Skalar als konstant an. Wir wissen also, dass es keine Koordinatentransformation des üblichen FLRW-Modells unseres Universums sein kann.

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Der Einfachheit halber haben Sie nur den flachen Fall der ursprünglichen FLRW-Metrik berücksichtigt, und Ihre vorgeschlagene transformierte Metrik ist ebenfalls flach. Aber "Ebenheit" ist keine Invariante. (Der Skalar der Raumkrümmung ist unter räumlichen Koordinatentransformationen invariant ; die Krümmung der Raumzeit ist unter Raumzeittransformationen invariant ; aber die Raumkrümmung ist unter Raumzeittransformationen nicht im Allgemeinen invariant .) Dieser Punkt ist für die von mir erwähnten Spezialfälle relevant .

Das übliche FLRW-Modell unseres Universums konvergiert tatsächlich in einem Sonderfall, dem sogenannten de-Sitter-Raum . In ferner Zukunft übertrumpft die kosmologische Konstante alles, und der (flache) Raum wird exponentiell größer:

$$d\tau^2 = dt^2 - c^{-2}e^{2ct/r_0} [ dr^2 + r^2d\Omega^2 ]$$

Ich habe Raum in Polarkoordinaten geschrieben,$d\Omega^2$ist eine Metrik für die Oberfläche einer Kugel.

Der de Sitter-Raum hat einen bekannten statischen Bezugsrahmen$(t^\star,r_c,\Omega)$:

$$d\tau^2 = (1 - \frac{r_c^2}{r_0^2})d{t^\star}^2 - c^{-2}(1 - \frac{r_c^2}{r_0^2})^{-1}d{r_c}^2 - c^{-2}r_c^2d\Omega^2$$

was wie eine Metrik für ein schwarzes Loch aussieht, nur umgestülpt. Exponentiell expandierender flacher Raum wurde in statischen gekrümmten Raum umgewandelt!

Oder mein liebster, aber weniger bekannter statischer Bezugsrahmen$(t^\star,r^\star,\Omega)$:

$$d\tau^2 = (\cosh\frac{r^\star}{r_0})^{-2} [ d{t^\star}^2 - c^{-2}d{r^\star}^2 - c^{-2}r_0^2(\sinh\frac{r^\star}{r_0})^2d\Omega^2 ]$$

Der Teil in eckigen Klammern ist eine Standardmetrik für den statischen hyperbolischen Raum mit Krümmungsradius$r_0$; Die Gesamtmetrik skaliert dies durch einen konformen Faktor (der nicht von der Zeit abhängt und gleich 1 at ist$r^\star=0$).

By the way, die aktuelle Schätzung des Ultimativen$r_0$denn unser Universum ist etwa zehn Milliarden Lichtjahre groß.

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Sie können jede FLRW-Metrik umwandeln in

$$d\tau^2 = A^2 [ d{t^\star}^2 - c^{-2}d{r^\star}^2 - c^{-2} B^2 d\Omega^2 ]$$

so dass$A=1$Wenn$r^\star=0$, und so das

$$\lim_{r^\star \to 0} \frac{B}{r^\star} = 1$$

Generell die Faktoren$A$Und$B$wird von beidem abhängen$t^\star$Und$r^\star$.

Diese werden Radarkoordinaten genannt , weil die radial ein- und ausgehenden Lichtgeschwindigkeiten konstant sind$c$, und, für einen Beobachter mit Konstante$r^\star=0$, die Zeitkoordinate ist die Eigenzeit. Das heißt, die Veranstaltungen bei$(t^\star,r^\star,\Omega)$sind zeitweise der Schnittpunkt des vergangenen und zukünftigen Lichtkegels des Referenzbeobachters$t^\star \pm \frac{r^\star}{c}$. In diesem Sinne könnte man sagen, dass es "mit der Perspektive eines Beobachters übereinstimmt, der sich im Raum befindet".

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Übrigens ist der einzige andere Spezialfall, der mir bekannt ist, ein linear expandierender hyperbolischer Raum. Dies wird Milne-Kosmologie genannt . Die Radarkoordinaten dafür sind statisch und flach – die Minkowski-Metrik!