Zerlegung des symmetrischen Teils eines Tensors

Question

Zerlegung des symmetrischen Teils eines Tensors

Physik
Flüssigkeitsdynamik
Tensorkalkül
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Rohan Mittal

Die Rate des Dehnungstensors ist gegeben als

e_{ich J} = \frac{1}{2} [\frac{\partial v_{ich}}{\partial X_{J}} + \frac{\partial v_{J}}{\partial X_{ich}}]

$e_{ij} = \frac{1}{2}\Big[\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Big]$ Wo

v_{i}

$v_i$ ist der

i

$i$ te Komponente des Geschwindigkeitsfeldes und

x_{i}

$x_i$ ist der

i

$i$ te Komponente des Positionsvektors. Nach dem, was ich gelesen habe, verstehe ich das

e_{i j}

$e_{ij}$ ist der Dehnungstensor oder der symmetrische Teil des Verformungstensors, dh

\nabla v

$\nabla \bf{v}$ . Der Dehnungsratentensor kann in folgender Form zerlegt werden:

e_{ich J} = [e_{ich J} - \frac{1}{3} e_{k k} δ_{ich J}] + \frac{1}{3} e_{k k} δ_{ich J}

$e_{ij} = [e_{ij} - \frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}] + \frac{1}{3}e_{kk}\delta_{ij}$ Von dem, was ich sammeln konnte,

e_{k k}

$e_{kk}$ kann geschrieben werden als

\nabla \cdot v

$\nabla \cdot \bf{v}$ was die reine Volumenausdehnung eines Fluidelements darstellt, und der erste Term ist eine Art Dehnung, die keine Volumenänderung umfasst. Ist das so richtig oder steckt mehr dahinter. Was ist die korrekte physikalische Interpretation dafür und warum ist sie nützlich?

Außerdem habe ich gelesen, dass jeder solche symmetrische Teil des Tensors in einen „isotropen“ Teil und einen „anisotropen“ Teil zerlegt werden kann. Ich kann nicht verstehen, warum wir das tun können und was es physikalisch darstellt. Ich möchte sowohl ein mathematisches als auch ein physikalisches Verständnis für diese Art der Zerlegung haben. Ich bin sehr neu in Tensoren und Strömungsmechanik und würde gerne ein vollständiges Verständnis dafür haben. Vielen Dank für die Antworten.

Chet Miller

Hier ist ein Vorschlag. Schreiben Sie ihn in Komponentenform für den Fall der Hauptrichtungen des Dehnungsratentensors auf. Dadurch werden die Kreuzbegriffe eliminiert und Sie erhalten einen besseren Einblick in die Wirkung der Begriffe.

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Zerlegung des symmetrischen Teils eines Tensors

Hier ist ein Vorschlag. Schreiben Sie ihn in Komponentenform für den Fall der Hauptrichtungen des Dehnungsratentensors auf. Dadurch werden die Kreuzbegriffe eliminiert und Sie erhalten einen besseren Einblick in die Wirkung der Begriffe.

ahostinthezahlen · Answer 1

Es gibt viele verschiedene Antworten auf Ihre Frage (da Nützlichkeit subjektiv ist), aber hier ist, was ich als die "wichtigste" betrachten würde.

Sehr oft nehmen wir an, dass Flüssigkeiten inkompressibel sind, dh die Dichte $\rho$ konstant ist, und folglich $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ aus der Massenkontinuitätsgleichung. Durch Aufspaltung des Dehnungsratentensors $\bf{D}$ in eine Summe eines isotropen Tensors $\mathbf{P}$ und ein spurloser deviatorischer Tensor $\mathbf{S}$ ,

D = P + S = \frac{1}{3} tr (D) ICH + (D - \frac{1}{3} tr (D) ICH) = \frac{1}{3} (\nabla \cdot v) ICH + S

$\mathbf{D} = \mathbf{P} + \mathbf{S} = \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I} + \left(\mathbf{D} - \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I}\right) = \frac{1}{3}(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} + \mathbf{S}$ Wir können die Quelle von Kompressibilitätseffekten als isolieren

P

$\mathbf{P}$ und ignorieren Sie es in dem Fall, wo

ρ

$\rho$ konstant ist, was konstitutive Gleichungen erheblich vereinfacht.

Dies kann beispielsweise nützlich sein, um uns eine direkte Möglichkeit zu geben, das Verhalten von Flüssigkeiten in dem Bereich zu analysieren, in dem sie leicht komprimierbar werden: Wir wissen, dass die Effekte im Dehnungsratentensor als zusätzlicher diagonaler Term erscheinen werden $\epsilon \mathbf{I}$ Wo $\epsilon \ll 1$ , und wir können die Störungstheorie verwenden, um zu sehen, wie sich die Kompressibilität in die Mechanik ausbreitet.

Aus einer allgemeineren Perspektive versuchen wir bei der Formulierung konstitutiver Gesetze, die Tensoren beliebigen Typs in der klassischen Mechanik beinhalten, solche Gesetze so zu formulieren, dass sie der Objektivität genügen (Galileische Transformationsinvarianz). Solche Gesetze können nur von den Invarianten von Tensoren abhängen , und daher ist es nützlich, die Terme zu isolieren, die von jeder einzelnen Invariante abhängen, von denen die Spur eine ist.

Ich denke, Ihre Gleichung sollte lauten: $D = P + S = \frac{1}{3} tr (D) ICH + (D - \frac{1}{3} tr (D) ICH)$ $\mathbf{D} = \mathbf{P} + \mathbf{S} = \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I} + \left(\mathbf{D} - \frac{1}{3}\text{tr}(\mathbf{D})\mathbf{I}\right)$

Chet Miller · Answer 2

In Hauptkomponentenform,

D_{11} = \frac{1}{3} [\frac{\partial v_{1}}{\partial X_{1}} + \frac{\partial v_{2}}{\partial X_{2}} + \frac{\partial v_{3}}{\partial X_{3}}] + [\frac{1}{3} (\frac{\partial v_{1}}{\partial X_{1}} - \frac{\partial v_{2}}{\partial X_{2}}) + \frac{1}{3} (\frac{\partial v_{1}}{\partial X_{1}} - \frac{\partial v_{3}}{\partial X_{3}})]

$D_{11}=\frac{1}{3}\left[\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right]+\left[\frac{1}{3}\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_1}-\frac{\partial v_2}{\partial x_2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_1}-\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right)\right]$ Der erste Term in Klammern repräsentiert den isotropen Expansions-/Kompressionsbeitrag zum Tensor der Deformationsrate. Die beiden Terme in der zweiten Klammer können als nicht-isotrope "reine Scher"-Verformungsbeiträge zum Deformationsratentensor interpretiert werden. Dieselbe Art von reiner Scherkinematik wird bei der Interpretation von Deformationen in der Festkörpermechanik angetroffen. Google "reine Scherung" in der Festkörpermechanik.

https://www.google.com/search?q=pure+shear

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Rohan Mittal

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