Riemann-Dual-Tensor- und Skalarfeldtheorie

Ich versuche, die Komponentenbewegungsgleichung für die Aktion in einem Papier zu finden . Die Aktion für das System ist,

$$S=\frac{m_P^2}{8\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\bigg(\frac{R}{2}-\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi+\alpha\phi\mathcal{G}\bigg),$$ Wo$\mathcal{G}=R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma}-4R^{\mu\nu}R_{\mu\nu}+R^2$ist die Gauß-Bonnet-Invariante. Die modifizierte Einstein-Bewegungsgleichung für die Aktion lautet $$G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\alpha(g_{\rho\mu}g_{\delta\nu}+g_{\rho\nu}g_{\delta\mu})\nabla_{\sigma}(\partial_{\gamma}\phi\epsilon^{\gamma\delta\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\lambda\eta}R_{\lambda\eta\alpha\beta}),$$ wobei der letzte Term in Klammern der Riemann-Dual-Tensor ist (er ist divergenzlos, denke ich). Das Skalarfeld ist eine Funktion von$r$nur und daher$\gamma=r$für den dritten Term ungleich Null. Im ersten Teil des Artikels, den ich verlinkt habe, die Metrik, $$ds^2=-e^{A(r)}dt^2+e^{B(r)}dr^2+r^2(d\theta^2+sin^2(\theta)d\varphi^2),$$ wird als Ansatz als Lösung verwendet. Dies wird dann in die Einstein-Gleichung subtrahiert und die$tt, rr$Und$\theta\theta$Gleichungen gefunden werden.

Ich habe versucht, die Kontraktionen in MAPLE für die zu machen$tt$Komponente, um sicherzustellen, dass die Indizes korrekt sind (z.$\rho=t$seit$\mu=t$usw.). Ich bekomme jedoch immer wieder Bedingungen des Formulars,

$$-8\alpha e^A\frac{(1-e^B)(\phi''-\frac{B'}{2}\phi')}{e^{2B}r^2}+\frac {1}{2}e^{A}\phi'^2,$$ Das kommt den Antworten nahe, die sie im Anhang produzieren, mit Ausnahme der$B'\phi'$Begriff im Anhang trägt ein ($e^{B}-3$) und ich weiß nicht, woher diese 3 kommt. Um meine Antwort zu finden, verwende ich die divergenzlose Natur des Riemann-Dual ($*R*$), um den letzten Term auf der rechten Seite der Einstein-Gleichung als zu schreiben

$$\nabla_{\sigma}(\partial_{\gamma}\phi\epsilon^{\gamma\delta\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\lambda\eta}R_{\lambda\eta\alpha\beta})=\epsilon^{rt\varphi\theta}\epsilon^{tr\theta\varphi}R_{\theta\varphi\varphi\theta}\nabla_{r}\partial_r\phi=(*R*)_{\theta\varphi\varphi\theta}\bigg(\phi''-\frac{B'}{2}\phi'\bigg),$$ wobei ich in der letzten Gleichheit die kovariante Ableitung erweitert habe und die verwende$\Gamma^{r}_{rr}$Christoffel-Symbol.

Weitere Probleme ergeben sich, wenn ich mir das anschaue$rr$Begriff, da mir mindestens 4 Begriffe aus dem Anhang fehlen.

Ich bin mir nicht sicher, ob es ein Problem in meinem Verständnis gibt oder ob ich etwas über das Riemann-Dual wissen sollte, das ich hier nicht habe, oder ob meine Verwendung nur das$\Gamma^r_{rr}$Symbol ist richtig. Wenn mir jemand eine helfende Hand geben könnte, um zu sehen, wo meine Berechnungen schief gehen, würde ich es wirklich schätzen.