Verwirrt über Indizes des Ricci-Tensors

Question

Verwirrt über Indizes des Ricci-Tensors

Schwere
Physik
Relativität
Tensorkalkül
generelle Relativität
Stress-Energie-Impuls-Tensor

ben

In einer Einführung in das GR-Buch wird der Ricci-Tensor wie folgt angegeben:

R_{μ v} = \partial_{λ} Γ_{μ v}^{λ} - Γ_{λ σ}^{λ} Γ_{μ v}^{σ} - [\partial_{v} Γ_{μ λ}^{λ} + Γ_{v σ}^{λ} Γ_{μ λ}^{σ}]

$R_{\mu\nu}=\partial_{\lambda}\Gamma_{\mu \nu}^{\lambda}-\Gamma_{\lambda \sigma}^{\lambda}\Gamma_{\mu \nu}^{\sigma}-[\partial_{\nu}\Gamma_{\mu \lambda}^{\lambda}+\Gamma_{\nu \sigma}^{\lambda}\Gamma_{\mu \lambda}^{\sigma}]$

Ich bin an dem Punkt angelangt, an dem ich ein bestimmtes Christoffel-Symbol ausarbeiten kann, aber ich habe immer noch Probleme, den obigen Tensor als Ganzes auszuarbeiten (nur algebraisch gesprochen). Wenn ich mich nicht irre, $R_{\mu\nu}$ sollte enden a $\mu$ X $\nu$ (dh 4x4)-Matrix ebenso wie der Energie-Impuls-Tensor auf der anderen Seite der Feldgleichungen. In der obigen Darstellung $\sigma$ ist eindeutig ein Dummy-Index, über den summiert werden muss, und ich kann sehen, wie $\lambda$ ist im ersten Term ebenfalls ein Dummy-Index. Aber die $\lambda$ s in den anderen Begriffen scheinen freie Indizes zu sein, die dann inkompatible Dimensionen in die Matrixoperationen einführen würden. Ich schätze es, wenn jemand auf den Fehler meiner Wege hinweisen kann.

Ron Maimon

Warum dachten Sie, dass die

λ

$\lambda$ s sind kostenlos?

ben

Weil ich dachte, dass Dummy-Indizes in separaten Symbolen wiederholt werden müssten. Jetzt ist es klar.

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Verwirrt über Indizes des Ricci-Tensors

Weil ich dachte, dass Dummy-Indizes in separaten Symbolen wiederholt werden müssten. Jetzt ist es klar.

David z · Answer 1

Jeder Begriff enthält einen $\lambda$ im hochgestellten und einen im tiefgestellten, also summierst du über diese. Die einzigen Indizes, die nicht sowohl hochgestellt als auch tiefgestellt im selben Begriff erscheinen, sind $\mu$ Und $\nu$ .

Beispiel:

Γ_{λ σ}^{λ} Γ_{μ v}^{σ} = Γ_{00}^{0} Γ_{μ v}^{0} + Γ_{01}^{0} Γ_{μ v}^{1} + \dots + Γ_{10}^{1} Γ_{μ v}^{0} + \dots

$\Gamma_{\lambda\sigma}^\lambda\Gamma_{\mu\nu}^\sigma = \Gamma_{00}^0\Gamma_{\mu\nu}^0 + \Gamma_{01}^0\Gamma_{\mu\nu}^1 + \cdots + \Gamma_{10}^1\Gamma_{\mu\nu}^0 + \cdots$

Beachten Sie, dass alle kontravianten/kovarianten Indizes mit dem LaTeX-Schlüsselwort '\phantom' geschrieben werden sollten $\Gamma^{\xi}_{\phantom{\lambda}\lambda\sigma}$ ; Sie sollten streng genommen nicht direkt übereinander liegen. Obwohl es mühsam ist, in diesem Zusammenhang zu schreiben ... :]
Ja, da der Punkt, den ich machen möchte, ohne explizite Positionierung der Indizes klar ist, habe ich mich nicht darum gekümmert. Leider haben wir kein Tensornotationspaket für MathJax.
@Killercam +1 Danke. Das ist gut zu wissen, weil die Bücher, die ich mir angeschaut habe, alle die Christoffel-Indizes übereinander positionieren, und ich mich gefragt habe, ob sie nicht lieber in eigenen Spalten angeordnet werden sollten, um der Logik von zB dem zu folgen Riemann-Tensor-Indizes.
@Killercam Es ist erwähnenswert, dass viele Autoren die Indizes in den Christoffel-Symbolen nicht ausgleichen, da es sich nicht um Tensoren, sondern nur um Sammlungen von Koeffizienten handelt. Jede Mehrdeutigkeit in den abgesenkten Formen kann leicht wegdefiniert werden, z $\Gamma_{\lambda\mu\nu} = g_{\lambda\sigma} \Gamma^\sigma_{\mu\nu}$ . Auf jeden Fall ist der viel bequemere Weg, TeX-Indizes zu versetzen, die Versetzungen an leere Strukturen anzuhängen, wie in \Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}. Das Setzen von GR wurde erheblich einfacher, nachdem ich aufgehört hatte, \phantom zu verwenden. ;)

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ben

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