Ableitung einer Gleichung mit Killing-Vektoren

Question

Ableitung einer Gleichung mit Killing-Vektoren

Danu

Ich studiere gerade Carrolls GR-Buch Spacetime & Geometry und hatte einige Probleme, den Text zu verstehen. Bei der Erörterung von Tötungsvektoren erwähnt Carroll, dass man sie ableiten kann

K^{λ} \nabla_{λ} R = 0

$K^{\lambda}\nabla_{\lambda}R=0$ Das heißt, die Richtungsableitung des Ricci-Skalars entlang eines Killing-Vektorfelds verschwindet (hier

K^{λ}

$K^{\lambda}$ ist ein Tötungsvektor).

Er bemerkt, dass die einzigen notwendigen Zutaten zur Ableitung dieser Gleichung sind:

\cdot Die Killing-Gleichung: \nabla_{(μ} K_{v)} = 0

$\cdot\;\;\text{The Killing equation:}\ \nabla_{(\mu}K_{\nu )}=0$

\cdot Die Bianchi-Identität: \nabla_{[μ} R_{v ρ] σ λ} = 0

$\cdot\;\;\text{The Bianchi identity:}\ \nabla_{[\mu}R_{\nu\rho ]\sigma\lambda}=0$

\cdot \nabla_{μ} \nabla_{v} K^{ρ} = R_{λ μ v}^{ρ} K^{λ} ⟶ \nabla_{μ} \nabla_{v} K^{μ} = R_{λ μ v}^{μ} K^{λ} = R_{λ v} K^{λ}

$\cdot\;\;\ \nabla_{\mu}\nabla_{\nu}K^{\rho}=R^{\rho}_{\lambda\mu\nu}K^{\lambda}\longrightarrow \nabla_{\mu}\nabla_{\nu}K^{\mu}=R^{\mu}_{\lambda\mu\nu}K^{\lambda}=R_{\lambda\nu}K^{\lambda}$

Mit $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ der Riemannsche Krümmungstensor und $R_{\mu\nu}$ der Ricci-Tensor.

Obwohl ich alle beteiligten Gleichungen herleiten konnte, sehe ich nicht, wie ich sie zusammensetzen soll, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Der einzige Weg, den ich gesehen habe, um loszulegen, ist der folgende:

K^{λ} \nabla_{λ} R = \nabla_{λ} (K^{λ} R) - R \nabla_{λ} K^{λ} = G^{μ σ} (\nabla_{λ} (R_{σ μ} K^{λ}) - R_{σ μ} \nabla_{λ} K^{λ})

$K^{\lambda}\nabla_{\lambda}R=\nabla_{\lambda}(K^{\lambda}R)-R\nabla_{\lambda}K^{\lambda}=g^{\mu\sigma}(\nabla_{\lambda}(R_{\sigma\mu}K^{\lambda})-R_{\sigma\mu}\nabla_{\lambda}K^{\lambda})$ was mich sofort in Schwierigkeiten bringt, weil ich nicht sehe, wie ich einen der Begriffe vereinfachen / manipulieren soll, um überhaupt eine der drei "Zutaten" zu verwenden.

Antworten (2)

Ableitung einer Gleichung mit Killing-Vektoren

Prahar · Answer 1

Beginnen Sie mit der folgenden Form der Bianchi-Identitäten

\nabla^{μ} R_{μ v} = \frac{1}{2} \nabla_{v} R

$\nabla^\mu R_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \nabla_\nu R$ Vertragen Sie beide Seiten mit

K^{ν}

$K^\nu$ . Wir finden

\frac{1}{2} K^{v} \nabla_{v} R = K^{v} \nabla^{μ} R_{μ v} = \nabla^{μ} (K^{v} R_{μ v}) - R_{μ v} \nabla^{μ} K^{v}

$\frac{1}{2} K^\nu \nabla_\nu R = K^\nu \nabla^\mu R_{\mu\nu} = \nabla^\mu \left( K^\nu R_{\mu\nu} \right) - R_{\mu\nu} \nabla^\mu K^\nu$ Der zweite Term verschwindet aufgrund der Symmetrie von

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ . Erinnern Sie sich jetzt daran

R_{μ ν} K^{ν} = \nabla_{ν} \nabla_{μ} K^{ν}

$R_{\mu\nu}K^\nu = \nabla_\nu \nabla_\mu K^\nu$ . Wir verwenden nun die folgende Tatsache

[\nabla_{ρ}, \nabla_{σ}] τ^{μ v} = R^{μ}_{λ ρ σ} τ^{λ v} + R^{v}_{λ ρ σ} τ^{μ λ}

$\left[ \nabla_\rho, \nabla_\sigma \right] \tau^{\mu\nu} = R^\mu{}_{\lambda\rho\sigma} \tau^{\lambda\nu} + R^\nu{}_{\lambda\rho\sigma}\tau^{\mu\lambda}$ Dies impliziert

\begin{aligned} \nabla^{μ} (K^{v} R_{μ v}) & = \nabla_{μ} \nabla_{v} \nabla^{μ} K^{v} = \nabla_{[μ} \nabla_{v]} \nabla^{[μ} K^{v]} = \frac{1}{2} [\nabla_{μ}, \nabla_{v}] \nabla^{[μ} K^{v]} \\ = \frac{1}{2} (R_{λ μ v}^{μ} \nabla^{[λ} K^{v]} - R_{λ v μ}^{v} \nabla^{[μ} K^{λ]}) \\ = \frac{1}{2} (R_{[λ v]} \nabla^{[λ} K^{v]} - R_{[λ μ]} \nabla^{[μ} K^{λ]}) = 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \nabla^\mu \left( K^\nu R_{\mu\nu} \right) &= \nabla_\mu\nabla_\nu \nabla^\mu K^\nu = \nabla_{[\mu}\nabla_{\nu ]} \nabla^{[\mu} K^{\nu]} = \frac{1}{2}[\nabla_{\mu}, \nabla_{\nu }] \nabla^{[\mu} K^{\nu]} \\ &=\frac{1}{2}\left(R^\mu_{\;\;\lambda\mu\nu} \nabla^{[\lambda} K^{\nu]}-R^\nu_{\;\;\lambda\nu\mu} \nabla^{[\mu} K^{\lambda]}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(R_{[\lambda\nu ]}\nabla^{[\lambda} K^{\nu]}-R_{[\lambda\mu ]}\nabla^{[\mu} K^{\lambda]}\right) = 0 \end{split} \end{equation}$ was dann impliziert

K^{v} \nabla_{v} R = 0

$K^\nu \nabla_\nu R = 0$

Vampyricon · Answer 2

Dies beginnt ziemlich genau wie Prahars Antwort. Verwenden Sie die Bianchi-Identitäten $\nabla^\mu R_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \nabla_\nu R$ und dann Vertrag mit $K^\nu$ erhalten $\frac{1}{2} K^\nu \nabla_\nu R = K^\nu \nabla^\mu R_{\mu\nu} = \nabla^\mu \left( K^\nu R_{\mu\nu} \right) - R_{\mu\nu} \nabla^\mu K^\nu$ . Bisher völlig identisch.

Aber jetzt, mit $R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu}$ , wir bekommen

R_{μ v} \nabla^{μ} K^{v} = R_{v μ} \nabla^{μ} K^{v}

$R_{\mu\nu} \nabla^\mu K^\nu = R_{\nu\mu} \nabla^\mu K^\nu$

Das Umbenennen der Indizes gibt uns

R_{μ v} \nabla^{μ} K^{v} = R_{μ v} \nabla^{v} K^{μ}

$R_{\mu\nu} \nabla^\mu K^\nu = R_{\mu\nu} \nabla^\nu K^\mu$

Entweder $R^{\mu\nu}=0$ , was impliziert $R=0$ , und macht das deutlich $K^\lambda\nabla_\lambda R=0$ , oder $R\neq 0$ , in welchem Fall

\nabla_{μ} K_{v} - \nabla_{v} K_{μ} = 0

$\nabla_\mu K_\nu-\nabla_\nu K_\mu=0$

Fügen Sie das der Killing-Gleichung hinzu $\nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0$ impliziert

\nabla_{μ} K_{v} = 0

$\nabla_\mu K_\nu=0$

Also bekommen wir

\begin{aligned} \frac{1}{2} K^{v} \nabla_{v} R & = \nabla^{μ} (K^{v} R_{μ v}) - R_{μ v} \nabla^{μ} K^{v} \\ = \nabla^{μ} (K^{v} R_{μ v}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{2} K^\nu \nabla_\nu R &= \nabla^\mu \left( K^\nu R_{\mu\nu} \right) - R_{\mu\nu} \nabla^\mu K^\nu \\ &=\nabla^\mu \left( K^\nu R_{\mu\nu} \right) \end{split} \end{equation}$

Unter Verwendung der Ricci-Tensorgleichung ist dies gleich

\nabla^{μ} \nabla_{v} \nabla_{μ} K^{v} = \nabla_{μ} \nabla_{v} \nabla^{μ} K^{v}

$\nabla^\mu\nabla_\nu\nabla_\mu K^\nu=\nabla_\mu\nabla_\nu\nabla^\mu K^\nu$

Aber das wissen wir schon $\nabla^\mu K^\nu=0$ , also bekommen wir

\frac{1}{2} K^{v} \nabla_{v} R = 0

$\frac{1}{2} K^\nu \nabla_\nu R=0$

was bedeutet

K^{λ} \nabla_{λ} R = 0

$K^\lambda \nabla_\lambda R=0$

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