Herleitung der Cartan-Feldgleichung

Question

Herleitung der Cartan-Feldgleichung

Benutzer110235

Bitte helfen Sie mir zu verstehen, wie in dieser Einführung in die Raumzeit und Felder die Einstein-Cartan-Gleichung:

C_{[J ich]}^{k} - δ_{[ich}^{k} C_{J] l}^{l} = \frac{κ}{2} S_{ich J}^{k},

$C^k_{\hspace{2mm} [ji]}-\delta_{[i}^{k}C^l_{\hspace{2mm} j]l}=\frac{\kappa}{2}s_{ij}^{\hspace{2mm}k},$ wenn die Ausgangsvariation der Feldgleichung in Bezug auf den Verzerrungstensor (

C

$C$ der Verzerrungstensor ist,

s

$s$ der Spintensor ist) wird abgeleitet zu sein

\frac{- 1}{κ C} \int (C_{ich}^{k J} - C_{l}^{l J} δ_{ich}^{k}) \sqrt{- G} δ C_{J k}^{ich} δ Ω + \frac{1}{2 C} \int S_{J}^{ich k} \sqrt{- G} δ C_{ich k}^{J} δ Ω = 0,

$\frac{-1}{\kappa c}\int (C^{kj}_{\hspace{2mm} i}-C^{lj}_{\hspace{2mm} l}\delta_i^k) \sqrt{-\mathfrak{g}}\delta C^i_{\hspace{2mm}jk}\delta \Omega \hspace{3mm} + \frac{1}{2c}\int s_j^{\hspace{2mm} ik}\sqrt{-\mathfrak{g}}\delta C^j_{\hspace{2mm}ik}\delta\Omega=0,$

was direkt zum Ausdruck führt

C_{ich}^{k J} - C_{l}^{l J} δ_{ich}^{k} = \frac{κ}{2} S_{ich}^{J k} .

$C^{kj}_{\hspace{2mm} i}-C^{lj}_{\hspace{2mm} l}\delta_i^k = \frac{\kappa}{2}s_i^{\hspace{2mm}jk}.$

Gibt es eine Form der Symmetrisierung, die diese Gleichung in die oben bekannte Form bringen kann?

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Herleitung der Cartan-Feldgleichung

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Beachten Sie, dass der Spintensor in seinen unteren Indizes schiefsymmetrisch ist,

S_{ich J}^{k} = - S_{J ich}^{k}

$s_{ij}{}^k=-s_{ji}{}^k$

Daher haben wir $s_{ij}{}^k=s_{[ij]}{}^k$ . Daran lässt sich das leicht ablesen

A_{ich J}^{k} = S_{ich J}^{k} \Leftrightarrow A_{[ich J]}^{k} = S_{ich J}^{k}

$A_{ij}{}^k=s_{ij}{}^k \quad \Leftrightarrow \quad A_{[ij]}{}^k=s_{ij}{}^k$ nach Bedarf.

Genial und einfach - warum konnte ich das nicht sehen :) Danke

Herleitung der Cartan-Feldgleichung

Benutzer110235

Antworten (1)

AccidentalFourierTransform

Benutzer110235

Frage von Schutz

Variation gegenüber RabcdRabcdR_{abcd}? Wie berechnet man∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

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