Wie viele Freiheitsgrade hat die kovariante Ableitung des Riemann-Tensors?

Die kovariante Ableitung des Riemann-Tensors sollte einen Faktor von hinzufügen$n$zu den Freiheitsgraden, die Sie zuvor hatten, geben$\frac{1}{12}n^3(n^2-1)$. Die zweite Bianchi-Identität schränkt jedoch die Menge der Komponenten ein:

$$R_{ab[cd;e]} = 0.$$

Es genügt dann zu zählen, wie viele Tensoren vom Rang 5 mit den letzten drei antisymmetrisierten Indizes es gibt und davon zu subtrahieren$\frac{1}{12}n^3(n^2-1)$.

Es gibt$\frac{n!}{r!(n-r)!}$unabhängige Komponenten in einer Reihe$r$Antisymmetrischer Tensor. Daher,$R_{ab[cd;e]} = 0$gibt uns

$$\frac{n(n-1)}{2} \times \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{1}{12}n^2(n-1)^2(n-2)$$ unabhängige Komponenten, wo der Faktor$\frac{n(n-1)}{2}$kommt von den ersten beiden Indizes, die antisymmetrisch sind. Wenn ich also nichts übersehen habe, sollte das Endergebnis lauten:

$$\frac{1}{12}n^3(n^2-1) - \frac{1}{12}n^2(n-1)^2(n-2) = \frac{1}{12}n^2(n-1)\Big(n(n+1) - (n-1)(n-2)\Big)$$ $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{12}n^2(n-1)(4n-2) = \frac{1}{6}n^2(n-1)(2n-1).$$

In 4D erhalten wir 56 unabhängige Komponenten.