Tensoren in einer zweidimensionalen euklidischen Ebene

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Wie auch immer, lassen Sie uns zuerst die Dinge klären$(x^1,x^2)$Koordinaten. Wir beginnen mit

$$T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}T^{11}&T^{12}\\T^{21}&T^{22}\end{pmatrix}$$ Da die Ebene euklidisch ist, wissen wir das auch $$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \quad,\quad g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ In Bezug auf kontravariante Koordinaten gehorcht der spurlose Tensor: $$T^{\mu}_{\;\;\mu} = T^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = T^{11} + T^{22} = 0$$ Lassen Sie uns nun die kovarianten Komponenten berechnen. $$T_{\mu\nu} \stackrel{\text{def.}}{=}\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix} \stackrel{\text{def.}}{=}g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}T^{\rho\sigma} = \begin{pmatrix}T^{11}&T^{12}\\T^{21}&T^{22}\end{pmatrix}$$ Beachten Sie, dass die letztere Gleichheit aufgrund der besonderen Form der Metrik gilt. Hätten wir es als lorentzianisch gewählt, würden wir am Ende dabei bleiben${\{T_{11}=T^{11},T_{12}=-T^{12},T_{21}=-T^{21},T_{22}=T^{22}\}}$. Wie auch immer, aus der letzteren Gleichung schließen wir das${\{T_{11}=T^{11},T_{22}=T^{22}\}}$. Daher hat man für kovariante Koordinaten $$T^{\mu}_{\;\;\mu} = T_{11} + T_{22} = 0$$ Wir wollen jetzt umsteigen$(z^1,z^2)$Koordinaten. Die partiellen Ableitungen werden gemäß berechnet $${x^1=\dfrac{1}{2}(z^1+z^2) \quad,\quad x_2=\dfrac{1}{2i}(z^1-z^2)}$$ Die kovarianten Komponenten des Tensors in der neuen Basis sind: $$T_{\alpha\beta} = \dfrac{\partial x^\mu}{\partial z^\alpha} \dfrac{\partial x^\nu}{\partial z^\beta} T_{\mu\nu} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}T_{11}-i(T_{12}+T_{21})-T_{22}&T_{11}+T_{22}\\T_{11}+T_{22}&T_{11}+i(T_{12}+T_{21})-T_{22}\end{pmatrix}$$ Daraus folgt, dass die Bedingung$T^{\mu}_{\;\;\mu} = T_{11} + T_{22} = 0$impliziert das Verschwinden von nichtdiagonalen Komponenten in der$(z^1,z^2)$Basis.