Warum ist die kovariante Ableitung eine partielle Ableitung in SR?

Ich bin neu in diesen Themen und war verwirrt über einige Beziehungen zwischen der Grenze von SR für GR.

Bei kartesischen Koordinaten ändert sich die Basis also nicht

$$\begin{equation}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}=0 \quad \quad(1)\end{equation}$$ und somit$V^{\alpha};_{\beta}=V^{\alpha},_{\beta}$.

Ich habe gesehen, dass sich Polarkoordinaten von Punkt zu Punkt ändern:

$$\begin{equation}|\vec{e_{\theta}}|^{2}=r^{2}\quad\quad(1.1),\end{equation}$$ Polarkoordinaten haben also keine konstante Basis, und für diese Koordinaten ist Gleichung (1) nicht wahr, da das gleiche wie die kovariante Ableitung nicht die partielle Ableitung für dieses Koordinatensystem ist $$\begin{equation}V^{\alpha};\beta\ne V^{\alpha},\beta\quad (1.2)\end{equation}$$

Mein Buch Schutz definiert einen lokal inertialen Rahmen als einen Rahmen, in dem alles lokal wie SR ist, und formal sehen wir das durch einen Satz

Wählen Sie einen beliebigen Punkt$\mathcal{P}$der Mannigfaltigkeit kann ein Koordinatensystem gefunden werden, dessen Ursprung bei liegt$\mathcal{P}$und welche Metrik die Minkowski-Metrik ist (2)

Er sagt auch

Insbesondere sagen wir, dass die Ableitungen der Basisvektoren eines lokal inertialen Koordinatensystems Null sind$\mathcal{P}$' (3)

Warum ???, das Koordinatensystem ist willkürlich, kann nicht polar oder sphärisch sein? Ich verstehe, dass sich der Trägheitsrahmen lokal wie SR verhält, aber in SR kann ich polare, sphärische und andere Koordinatensysteme haben, die von der Basis abgeleitet sind nicht gleich Null.

Diese in (3) erwähnte Definition führt ihn zu dem Schluss

$$\begin{equation} V^{\alpha};\beta=V^{\alpha},\beta \quad \mbox{ at } \mathcal{P} \mbox{ in this frame } \quad \quad (4)\end{equation}$$

Warum ?? Wieder ist dieser Rahmen in SR, okay, aber dieser Rahmen kann viele Koordinatensysteme annehmen, die Ableitung der Basis ist nicht notwendigerweise gleich Null, aber wenn ich diesen Punkt berücksichtige$\mathcal{P}$Als augenblickliches Maß wird die Ableitung der nicht konstanten Basis Null sein, aber wie$V^{\alpha},\beta$existiert in augenblicklichem Maß ??

als er mit diesen Schlussfolgerungen folgt

$$\begin{equation}g_{\alpha\beta;\gamma}=g_{\alpha\beta,\gamma}=0\quad \mbox{ at } \mathcal{P}\quad \quad (5)\end{equation}$$ da die letzte Gleichung eine Tensorgleichung ist, ist sie gültig

$$\begin{equation}g_{\alpha\beta;\gamma}=0\quad \mbox{in any basis }\quad (6) \end{equation}$$

dies wird auf jeder Grundlage in diesem SR-Rahmen gültig sein ?? am nahen Punkt des SR-Rahmens$\mathcal{P}$, oder in allen Frames ??.

All diese Zweifel führen mich zu der Frage, ob SR nur für kartesische Koordinaten definiert ist, das heißt, wenn wir über SR sprechen, soll es nur kartesische Koordinaten annehmen?

Entschuldigung für die vielen Fragen, ich bin vor ein paar Tagen in diesen Zweifeln verloren gegangen