Variation der skalaren Krümmung bei Rahmenverformung

Question

Variation der skalaren Krümmung bei Rahmenverformung

raptakem

In Anlehnung an das Lehrbuch "Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity" von Ioseph Buchbinder und Sergei Kuzenko (S. 38 - 40):

Betrachten wir die a-Frame-Deformation in unserem Vierbein, die durch einen symmetrischen Lorentz-Tensor vom Rang 2 induziert wird $H$ :

$e_{A}^{M} \to e_{A}^{M} + H_{A}^{B} e_{B}^{M}$ $e^m_a \rightarrow e_a^m + H_a^b e^m_b$

Man kann leicht zeigen:

G_{M N} = e_{M}^{A} e_{N}^{B} η_{A B}

$g_{mn} = e^a_m e^b_n \eta_{ab}$

⟹ δ G_{M N} = - 2 e_{M}^{A} e_{N}^{B} H_{A B}

$\implies \delta g_{mn} = -2 e_m^a e_n^b H_{ab}$

⟹ H_{A B} = - \frac{1}{2} e_{A}^{M} e_{B}^{N} δ G_{M N}

$\implies H_{ab} = - \frac{1}{2} e^m_a e^n_b \delta g_{mn}$

Das nächste Ziel wäre zu identifizieren, wie die Krümmung in Bezug auf die Variation in der Metrik variiert, so dass verschiedene Invarianten identifiziert werden könnten (S. 40-41), jedoch beim Versuch, die Variation in der skalaren Krümmung zu finden:

δ R = 2 \nabla^{C} \nabla_{C} H_{A}^{A} - 2 \nabla^{A} \nabla^{B} H_{A B} + 2 H^{A B} R_{A B}

$\delta R = 2 \nabla^c \nabla_c H^a_a - 2 \nabla^a \nabla^b H_{ab} + 2 H^{ab}R_{ab}$

⟹ δ R = - \nabla^{C} \nabla_{C} (η^{A B} e_{A}^{M} e_{B}^{N} δ G_{M N}) + \nabla^{A} \nabla^{B} (e_{A}^{M} e_{B}^{N} δ G_{M N}) - (e_{A}^{M} e_{B}^{N} δ G_{M N}) R_{A B}

$\implies \delta R = - \nabla^c \nabla_c (\eta^{ab} e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn}) + \nabla^a \nabla^b (e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn}) - (e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn})R_{ab}$

Unter Verwendung der Kompatibilität des vielbein mit der kovarianten Ableitung:

δ R = - η^{A B} e_{A}^{M} e_{B}^{N} \nabla^{C} \nabla_{C} δ G_{M N} + e_{A}^{M} e_{B}^{N} \nabla^{A} \nabla^{B} δ G_{M N} - e_{A}^{M} e_{B}^{N} δ G_{M N} R_{A B}

$\delta R = - \eta^{ab} e_a^{m}e_b^{n} \nabla^c \nabla_c \delta g_{mn} + e_a^{m}e_b^{n} \nabla^a \nabla^b \delta g_{mn} - e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn}R_{ab}$

Was nicht die richtige Form zu haben scheint. Kann ich noch etwas ausprobieren oder bin ich da falsch vorgegangen?

Antworten (1)

Variation der skalaren Krümmung bei Rahmenverformung

Mike Stein · Answer 1

Eine nützliche Gleichung könnte sein

G^{μ v} δ R_{μ v} = (G_{μ v} \nabla^{2} - \nabla_{μ} \nabla_{v}) δ G^{μ v},

$g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} = (g_{\mu\nu}\nabla^2 -\nabla_\mu \nabla_\nu) \delta g^{\mu\nu},$ aber vielleicht benutzt du das schon?

Ich glaube jedoch nicht, dass Sie die Kompatibilität korrekt haben. Der Zusammenhang wird durch Angabe der kovarianten Ableitung der Basisvektoren von definiert $T(M)$ . Im Falle eines vielbein Rahmens ${\bf e}_a$ , die kovariante Ableitung des Vektors ${\bf e}_a$ wird geschrieben als

\nabla_{μ} e_{A} = e_{B} {ω^{B}}_{A μ}

$\nabla_\mu{\bf e}_a = {\bf e}_b {\omega^b}_{a\mu}$ was man in Koordinatenrahmenkomponenten schreiben kann (dh wo

e_{a} = e_{a}^{μ} \partial_{μ}

${\bf e}_a=e_a^\mu \partial_\mu$ ) als

\nabla_{μ} e_{A}^{v} \equiv (\nabla_{μ} e_{A})^{v} = e_{B}^{v} {ω^{B}}_{A μ} .

$\nabla_\mu e^\nu_a \equiv (\nabla_\mu{\bf e}_a)^\nu= e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}.$ Die kovariante Ableitung der Vierbeinbasis ist also nicht Null. Ich habe Leute gesehen, die dafür plädierten, vierbeins durch kovariante Ableitungen zu führen, indem sie diese letzte Gleichung als schrieben

\partial_{μ} e_{A}^{v} + {Γ^{v}}_{λ μ} e_{A}^{λ} - e_{B}^{v} {ω^{B}}_{A μ} = 0

$\partial_\mu e^\nu_a + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} e^\lambda_a - e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}=0$ und dies als eine Art "verallgemeinerte" kovariante Ableitung betrachten, die Null ist. Dabei machen sie den Fehler, sich vorzustellen, dass die „

a

$a$ '' In

e_{a}^{μ}

$e_a^\mu$ ist eher ein Index als ein Label, das uns sagt, welcher Frame-Vektor

e_{a}

${\bf e}_a$ Ist. Es ist vielleicht eine nützliche Gedächtnisstütze, aber auch irgendwie schizophren, da sie versuchen, gleichzeitig mit einem Vielbein-Frame und einer koordinierten Basis für den Tangentialraum zu arbeiten

T (M)

$T(M)$ . Es macht keinen mathematischen Sinn, die Definition der Rahmenverbindung zu interpretieren

{ω^{b}}_{a μ}

${\omega^b}_{a\mu}$ dieser Weg. Sicherlich der Ausdruck

\partial_{μ} e_{A}^{v} + {Γ^{v}}_{λ μ} e_{A}^{λ} - e_{B}^{v} {ω^{B}}_{A μ}

$\partial_\mu e^\nu_a + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} e^\lambda_a - e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}$ ist nicht die

ν

$\nu$ -te Komponente der kovarianten Ableitung

\nabla_{μ} e_{a}

$\nabla_\mu {\bf e}_a$ ! Es so zu behandeln, als ob es so wäre, wird unweigerlich zu Verwirrung führen, und ich vermute, dass dies in Ihrer Berechnung passiert.

Eine weitere brauchbare Formel für die Variation der torsionsfreien Drehverbindung unter einem Wechsel des vielbeinigen Rahmens ist

(δ ω_{ich J μ}) e_{k}^{μ} = - \frac{1}{2} {(η_{ich B} (\nabla_{J} [e_{a}^{* B} δ e_{k}^{a}] - \nabla_{k} [e_{a}^{* B} δ e_{J}^{a}]) + η_{J B} (\nabla_{k} [e_{a}^{* B} δ e_{ich}^{a}] - \nabla_{ich} [e_{a}^{* B} δ e_{k}^{a}]) - η_{k B} (\nabla_{ich} [e_{a}^{* B} δ e_{J}^{a}] - \nabla_{J} [e_{a}^{* B} δ e_{ich}^{a}])} .

$(\delta \omega_{ij\mu}) e^\mu_k =-\frac 12\left\{( \eta_{ib}( \nabla_j [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_k]- \nabla_k [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j]) +\eta_{jb}( \nabla_k [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_i]- \nabla_i [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_k]) -\eta_{kb}( \nabla_i [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j]- \nabla_j [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_i])\right\}.$ wo ich meine denke

η_{i b} e_{α}^{* b} δ e_{j}^{α} = e_{i} \cdot δ e_{j}

$\eta_{ib}e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j= {\bf e}_i\cdot \delta{\bf e}_j$ sind das gleiche wie bei dir

H_{i j}

$H_{ij}$

Ich denke, eine Ihrer Gleichungen ist möglicherweise verschwunden, aber trotzdem sollte ich erwähnen, dass ich für die Verbindung den torsionsfreien Fall annehme, daher glaube ich, dass es gerechtfertigt ist, den Rahmen durch die Ableitung zu führen?
@raptakem.Ja, eq ist verschwunden. Wir hatten einen Stromausfall, als ich es bearbeitete. Ich glaube nicht, dass Torsionsfreiheit relevant ist. Das Problem sind die vielfältigen Rollen der " $a$ " In $e_a^\mu$ . Ich werde meine Antwort ändern, um dies zu diskutieren.

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raptakem

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Mike Stein

raptakem

Mike Stein

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