Umwandlung der Gravitationswirkung von Differentialformen in Tensorkomponenten

Ich bin mir Ihrer Konventionen für die zwei Formen des Riemann-Tensors oder der Krümmung nicht sicher, aber das sollte in Ordnung sein. wir haben das

$$\Omega^{cd} = R^{cd}{}_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu$$ in lokalen Koordinaten (wir müssen wirklich vorsichtig sein, da die Koordinaten möglicherweise nicht überall auf der Mannigfaltigkeit definiert sind.) Als nächstes erfüllt die Tetrade/das Vierbein $e^a = e^a_\mu dx^\mu$. Die linke Seite beträgt also

$$M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}(e^a_\mu dx^\mu)\wedge (e^b_\nu dx^\nu)\wedge R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma$$

Die Basis-1-Formulare sind die einzigen Dinge, die sich um das Keilprodukt/Außenprodukt kümmern, aber die Funktionen, die davor sitzen, können verschoben werden:

$$M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}(e^a_\mu dx^\mu)\wedge (e^b_\nu dx^\nu)\wedge R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\rho \wedge dx^\sigma = M_{pl}^2 \int_M \epsilon_{abcd}e^a_{\mu} e^b_\nu R^{cd}{}_{\rho\sigma}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$$

Beachten Sie jedoch, dass die$dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma$ist eine Permutation des Volumenelements$d^4x$vorausgesetzt, dass keine zwei Indizes identisch sind (andernfalls verschwindet es). Daher$dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho \wedge dx^\sigma = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} d^4 x$, und damit haben wir das Ergebnis.