Äquivalenz der geodätischen Gleichung und der Kontinuitätsgleichung für den Energie-Impuls-Tensor

Question

Äquivalenz der geodätischen Gleichung und der Kontinuitätsgleichung für den Energie-Impuls-Tensor

jac

Ich stecke bei einer Übung in Sean Carrolls Spacetime and Geometry (Kapitel 4, Übung 3) fest. Das Ziel ist zu zeigen, dass die Kontinuität des Energie-Impuls-Tensors, d. h

\begin{matrix} (1) & \nabla_{μ} T^{μ v} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\tag{1} \end{equation}$ entspricht der geodätischen Gleichung im Falle eines freien Teilchens. Der Energie-Impuls-Tensor eines freien Teilchens mit Masse

m

$m$ sich entlang seiner Weltlinie bewegt

x^{μ} (τ)

$x^\mu (\tau )$ Ist

\begin{matrix} (2) & T^{μ v} (j^{σ}) = M \int D τ \frac{δ^{(4)} (j^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- G}} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} . \end{matrix}

$\begin{equation} T^{\mu\nu}(y^\sigma)=m\int d \tau \frac{\delta^{(4) }(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}.\tag{2} \end{equation}$ Die kovariante Ableitung dieses Tensors ergibt

\begin{aligned} \nabla_{μ} T^{μ v} = & M \int D τ \nabla_{μ} [\frac{δ^{(4)} (j^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- G}}] \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} \\ (3) & + M \int D τ \frac{δ^{(4)} (j^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- G}} \nabla_{μ} [\frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ}] . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_\mu T^{\mu\nu}=&m\int d \tau \nabla_\mu\left[ \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\right]\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\cr &+m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\nabla_\mu\left[\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\right].\tag{3} \end{align}$ Die erste kovariante Ableitung der rechten Seite der obigen Gleichung reduziert sich auf eine gewöhnliche partielle Ableitung, da das Argument ein Skalar ist. Dies erlaubt uns, eine partielle Integration auf diesen Term anzuwenden. Die zweite kovariante Ableitung hat ein Argument, von dem nicht explizit abhängig ist

y^{σ}

$y^\sigma$ , sodass die kovariante Ableitung als Multiplikation dieses Tensors mit den entsprechenden Christoffel-Symbolen geschrieben werden kann. Dies führt uns schließlich zu

\begin{aligned} - M \int D τ \frac{δ^{(4)} (j^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- G}} \frac{D^{2} X^{v}}{D τ^{2}} \\ (4) & + M \int D τ \frac{δ^{(4)} (j^{σ} - X^{σ} (τ))}{\sqrt{- G}} [Γ_{μ σ}^{μ} \frac{D X^{σ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} + Γ_{μ σ}^{v} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{σ}}{D τ}] . \end{aligned}

$\begin{align} &-m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\frac{d^2x^\nu}{d\tau^2} \cr &+ m\int d \tau \frac{\delta^{(4)}(y^\sigma-x^\sigma(\tau ))}{\sqrt{-g}}\left[ \Gamma^\mu_{\mu\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau} \right].\tag{4} \end{align}$ Die Kontinuitätsgleichung erfordert

\begin{matrix} (5) & - \frac{D^{2} X^{v}}{D τ^{2}} + Γ_{μ σ}^{μ} \frac{D X^{σ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ} + Γ_{μ σ}^{v} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{σ}}{D τ} = 0. \end{matrix}

$\begin{equation} -\frac{d^2x^\nu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\mu\sigma}\frac{dx^\sigma}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau}=0.\tag{5} \end{equation}$ Dies ist die geodätische Gleichung mit einem zusätzlichen Term, dh dem Term in der Mitte und mit einem falschen Vorzeichen für den ersten Term. Kann ich diesen Begriff in der Mitte loswerden, indem ich den Parameter ändere

τ

$\tau$ der Weltlinie? Was ist mit dem falschen Vorzeichen? Was habe ich falsch gemacht?

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/39526/2451

jac

@Qmechanic Ich hatte die verwandte Frage bereits studiert, aber sie hilft mir nicht wirklich. Hinzu kommen Fehler in der Antwort.

Brian Motten

Warum ist

\nabla_{μ} [\frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}]

$\nabla_\mu \left[\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \dfrac{dx^\nu}{d \tau} \right]$ ungleich Null, da der Ausdruck in Klammern nicht davon abhängt

y^{μ}

$y^\mu$ ? Ich denke, Sie machen einen Trick, den ich mit der "Integration nach Teilen" nicht verstehe. Das einzige, worauf es ankommt

y^{μ}

$y^\mu$ ist das Stück mit der Delta-Funktion. Ich hätte sowas gemacht

\frac{d x^{μ}}{d τ} \nabla_{μ} \to \frac{d}{d τ}

$\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \nabla_\mu \to \dfrac{d}{d\tau}$ und von dort gegangen. Ich bin mir aber nicht sicher, wie die Details funktionieren.

jac

@NowIGet... Das sage ich nicht

\frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}

$\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$ ist Null. Eine kovariante Ableitung kann als Summe einer gemeinsamen partiellen Ableitung und einer Reihe von Termen mit Christoffel-Symbolen geschrieben werden. Ich habe gerade gesagt, dass die partielle Ableitung 0 ist. Das liegt daran, dass die kovariante Ableitung eine Ableitung relativ zur Variablen ist

y^{σ}

$y^\sigma$ .

Brian Motten

Ok, ich denke, was an dem, was Sie getan haben, falsch war, war, als Sie bei der Integration nach Teilen vorgegangen sind, haben Sie getroffen

{\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^\nu$ mit

\frac{\partial}{\partial τ}

$\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ , aber du hast vergessen zu schlagen

\frac{1}{\sqrt{- g}}

$\dfrac{1}{\sqrt{-g}}$ . Dies sollte Ihnen eine geben

Γ

$\Gamma$ um das andere Extra zu stornieren

Γ

$\Gamma$ , aber ich bin mir nicht sicher.

Antworten (2)

Äquivalenz der geodätischen Gleichung und der Kontinuitätsgleichung für den Energie-Impuls-Tensor

@Qmechanic Ich hatte die verwandte Frage bereits studiert, aber sie hilft mir nicht wirklich. Hinzu kommen Fehler in der Antwort.
Warum ist $\nabla_\mu \left[\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \dfrac{dx^\nu}{d \tau} \right]$ ungleich Null, da der Ausdruck in Klammern nicht davon abhängt $y^\mu$ ? Ich denke, Sie machen einen Trick, den ich mit der "Integration nach Teilen" nicht verstehe. Das einzige, worauf es ankommt $y^\mu$ ist das Stück mit der Delta-Funktion. Ich hätte sowas gemacht $\dfrac{dx^\mu}{d \tau} \nabla_\mu \to \dfrac{d}{d\tau}$ und von dort gegangen. Ich bin mir aber nicht sicher, wie die Details funktionieren.
@NowIGet... Das sage ich nicht $\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}$ ist Null. Eine kovariante Ableitung kann als Summe einer gemeinsamen partiellen Ableitung und einer Reihe von Termen mit Christoffel-Symbolen geschrieben werden. Ich habe gerade gesagt, dass die partielle Ableitung 0 ist. Das liegt daran, dass die kovariante Ableitung eine Ableitung relativ zur Variablen ist $y^\sigma$ .
Ok, ich denke, was an dem, was Sie getan haben, falsch war, war, als Sie bei der Integration nach Teilen vorgegangen sind, haben Sie getroffen $\dot{x}^\nu$ mit $\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ , aber du hast vergessen zu schlagen $\dfrac{1}{\sqrt{-g}}$ . Dies sollte Ihnen eine geben $\Gamma$ um das andere Extra zu stornieren $\Gamma$ , aber ich bin mir nicht sicher.

QMechaniker · Answer 1

Seien Sie nur vorsichtig, welche Menge von welchem Argument abhängt, vgl. obiger Kommentar des Benutzers NowIGetToLearnWhatAHeadIs. Dann funktioniert es wie am Schnürchen:

\begin{aligned} \nabla_{μ}^{(j)} T^{μ v} (j) = & \partial_{μ}^{(j)} T^{μ v} (j) + Γ_{μ λ}^{μ} (j) T^{λ v} (j) + Γ_{μ λ}^{v} (j) T^{μ λ} (j) \\ = & \frac{1}{\sqrt{- G (j)}} \partial_{μ}^{(j)} (\sqrt{- G (j)} T^{μ v} (j)) + Γ_{μ λ}^{v} (j) T^{μ λ} (j) \\ \overset{(2)}{=} & \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} \int_{τ_{ich}}^{τ_{F}} D τ {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} \partial_{μ}^{(j)} δ^{4} (j - X (τ)) + Γ_{μ λ}^{v} (j) T^{μ λ} (j) \\ = & - \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} \int_{τ_{ich}}^{τ_{F}} D τ {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} \partial_{μ}^{(X)} δ^{4} (j - X (τ)) + Γ_{μ λ}^{v} (j) T^{μ λ} (j) \\ = & - \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} \int_{τ_{ich}}^{τ_{F}} D τ {\dot{X}}^{v} \frac{D}{D τ} δ^{4} (j - X (τ)) + Γ_{μ λ}^{v} (j) T^{μ λ} (j) \\ \overset{int. nach Teilen}{=} & \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} \int_{τ_{ich}}^{τ_{F}} D τ {\ddot{X}}^{v} δ^{4} (j - X (τ)) + Γ_{μ λ}^{v} (j) T^{μ λ} (j) \\ - \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} {[{\dot{X}}^{v} δ^{4} (j - X (τ))]}_{τ = τ_{ich}}^{τ = τ_{F}} \\ \overset{(2)}{=} & \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} \int_{τ_{ich}}^{τ_{F}} D τ \underset{geodätisches Gl.}{\underset{⏟}{{{\ddot{X}}^{v} + Γ_{μ λ}^{v} (X (τ)) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{λ}}}} δ^{4} (j - X (τ)) \\ - \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} {[{\dot{X}}^{v} δ^{4} (j - X (τ))]}_{τ = τ_{ich}}^{τ = τ_{F}} \\ \overset{geodätisches Gl.}{=} & - \frac{M}{\sqrt{- G (j)}} \underset{Quellenbegriffe}{\underset{⏟}{{[{\dot{X}}^{v} δ^{4} (j - X (τ))]}_{τ = τ_{ich}}^{τ = τ_{F}}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla^{(y)}_{\mu} T^{\mu\nu}(y) ~=~& \partial^{(y)}_{\mu} T^{\mu\nu}(y) ~+~\Gamma^{\mu}_{\mu\lambda}(y) T^{\lambda\nu}(y) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{-g(y)}}\partial^{(y)}_{\mu} \left(\sqrt{-g(y)}T^{\mu\nu}(y)\right) +\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}\partial^{(y)}_{\mu}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~&-\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}\partial^{(x)}_{\mu}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr ~=~&-\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\dot{x}^{\nu} \frac{d}{d\tau}\delta^4(y\!-\!x(\tau )) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y) \cr \stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau ~\ddot{x}^{\nu} \delta^4(y\!-\!x(\tau)) ~+~\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(y) T^{\mu\lambda}(y)\cr &~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f} \cr ~~~~~~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{m}{\sqrt{-g(y)}} \int_{\tau_i}^{\tau_f} \!\mathrm{d}\tau\underbrace{\left\{\ddot{x}^{\nu}+ \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}(x(\tau))\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\lambda} \right\}}_{\text{geodesic eq.}}\delta^4(y\!-\!x(\tau ))\cr &~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f}\cr \stackrel{\text{geodesic eq.}}{=}&~~-~\frac{m}{\sqrt{-g(y)}}\underbrace{\left[\dot{x}^{\nu}\delta^4(y\!-\!x(\tau))\right]_{\tau=\tau_i}^{\tau=\tau_f}}_{\text{source terms}}. \end{align}$ Die Quellterme brechen natürlich die Kontinuitätsgleichung (1), weil sie der Erzeugung und Vernichtung von Energie-Impuls eines Teilchens entsprechen. Abseits von Erzeugungs- und Vernichtungsquelltermen sollte die Kontinuitätsgleichung (1) erfüllt sein, die dann die geodätische Gleichung erzwingt .

◻

$\Box$

Ist mir jetzt klar. Danke. Die Identität $\Gamma^\mu_{\mu \sigma}=\frac {1}{\sqrt{-g}}\partial_\sigma \left( \sqrt{-g} \right)$ war das fehlende Glied in meiner Argumentation.
@Qmechanic Vielen Dank für die Antwort. Wenn wir versuchen, zu erhalten $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}$ für die kontinuierliche Verteilung von Staub erhalten wir $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = (\text{continuity eqn}) + (\text{geodesics eqn})$ . Ich denke, Ihr "Quellterm" ist eine Art Kontinuitätsgleichung für $\delta$ -ähnliche Verteilung.
@Qmechanic 1. In der dritten Zeile/Gleichheit hast du gerade das gestrichen $\sqrt{-g(y)}$ mit dem $\sqrt{-g}$ innerhalb der $T^{\mu\nu}(y)$ Integral? 2. Ist das nicht $\sqrt{-g}$ innerhalb des Integrals abhängig von $x$ ?
Gibt es eine bestimmte Eigenschaft, die Sie verwenden $\frac{1}{F (j)} \int F (X) G (X) δ (X - j) D X = \int G (X) δ (X - j) D X$ $\frac{1}{f(y)}\int f(x)g(x)\delta(x-y)\, dx=\int g(x)\delta(x-y)\, dx$ oder etwas ähnliches?

Mike Stein · Answer 2

Es gibt einen viel einfacheren Weg zur geodätischen Gleichung: Stellen Sie sich eine Wolke aus nicht wechselwirkenden Staubpartikeln mit der richtigen Massendichte vor $\rho_0$ und gemeinsame vier Geschwindigkeit $u^\mu$ . Sie haben

T^{μ v} = ρ_{0} u^{μ} u^{v} .

$T^{\mu\nu}= \rho_0 u^\mu u^\nu.$ Das sagt die Energie-Impuls-Erhaltung

0 = \nabla_{μ} T^{μ v} = ρ_{0} u^{μ} \nabla_{μ} u^{v} + u^{v} \nabla_{μ} (ρ_{0} u^{μ}) .

$0 = \nabla_\mu T^{\mu\nu} = \rho_0 u^\mu\nabla_\mu u^\nu + u^\nu \nabla_\mu(\rho_0 u^\mu).$ Der zweite Term ist aufgrund der Teilchenerhaltung Null, und der erste ist die geodätische Gleichung.

Carrolls Argument ist äquivalent zu diesem, aber kompliziert durch seine Notwendigkeit, Deltafunktionen einzuführen, um ein einzelnes Teilchen zu isolieren.

Aah – habe gerade Sergios Kommentar gesehen.

Äquivalenz der geodätischen Gleichung und der Kontinuitätsgleichung für den Energie-Impuls-Tensor

jac

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jac

Brian Motten

jac

Brian Motten

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QMechaniker

jac

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Sergio

Nothingham

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Nothingham

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Nothingham

Mike Stein

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