Geodätische Gleichung und Normalisierung der 4-Geschwindigkeit

Die Frage fordert Sie auf, das zu zeigen$u_\mu u^\mu$ändert sich nicht, wenn Sie sich entlang einer Geodäte bewegen. Ob das trivial ist oder nicht, hängt davon ab, wie genau Sie das bewiesen haben$\frac{dx^\mu}{d\tau}$, und seien Sie vorsichtig, da die geodätische Gleichung bei willkürlicher Neuparametrisierung nicht unveränderlich ist. Mit anderen Worten, wenn Sie statt der richtigen Zeit Lust haben, eine seltsame Funktion zu verwenden$\lambda(\tau)$als Parameter,$v^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}$wird nicht dieselbe geodätische Gleichung erfüllen. Es wird immer noch parallel transportiert, aber mit einer kovarianten Ableitung, die gleich einem Vielfachen von sich selbst ist:

$$v^\mu \nabla_\mu v^\nu = \kappa(\lambda)v^\nu$$

Auch hier hängen die Details davon ab, wie genau Sie alles bewiesen haben. Der Standardweg, den ich kenne, besteht darin, eine Geodätische als eine Kurve zu definieren, die ihren Tangentenvektor parallel transportiert, dh sie erfüllt die obige Gleichung für$v^\mu$. Sie zeigen dann, dass Sie neu parametrieren können, sodass die rechte Seite Null wird, und zeigen dann, was Ihre Frage stellt: Wenn die RHS Null ist, ist das Quadrat des Tangentenvektors konstant. Damit können Sie den Parameter so wählen$u_\mu u^\mu = -1$, dh Ihre Kurve ist jetzt durch die Bogenlänge, dh die Eigenzeit, parametrisiert.

Seien Sie übrigens vorsichtig mit der Unterscheidung zwischen Tangentenvektor und Vierergeschwindigkeit. Sie können einen Tangentenvektor für jede Kurve mit jedem Parameter definieren, aber die vier Geschwindigkeiten werden nur für zeitähnliche Kurven definiert und verwenden die Eigenzeit als Parameter, damit sie normalisiert wird. Dies ist relevant für den zweiten Teil Ihrer Gleichung: Wenn Ihre Kurve eine geodätische und ist$u^\mu$ist ein beliebiger Tangentenvektor,$u^\mu/|u|$erfüllt aber die geodätische Gleichung mit der RHS gleich Null$u^\mu$Dies erfüllt im Allgemeinen die geodätische Gleichung, die ich oben geschrieben habe.