Zeigen Sie, dass ∂νTμν=−jνFμν∂νTμν=−jνFμν\partial_\nu T^{\mu\nu} = - j_\nu F^{\mu\nu}

Question

Zeigen Sie, dass ∂νTμν=−jνFμν∂νTμν=−jνFμν\partial_\nu T^{\mu\nu} = - j_\nu F^{\mu\nu}

Martin Üding

In einer theoretischen Physik Hausaufgabe muss ich folgendes zeigen:

\partial_{v} T^{μ v} = - J_{v} F^{μ v}

$\partial_\nu T^{\mu\nu} = - j_\nu F^{\mu\nu}$

Wo $T$ ist der Energie-Impuls-Tensor, $j$ der verallgemeinerte Strom und $F$ der Feldtensor. Wir benutzen das $g$ für den metrischen Tensor denke ich im Englischen die $\eta$ ist häufiger.

Ich kenne folgende Zusammenhänge:

Strom und magnetisches Potential mit Lorenz-Eichbedingung:
$◻ A^{μ} = μ_{0} J^{μ}$ $\mathop\Box A^\mu = \mu_0 j^\mu$
Energie-Impuls-Tensor:
$T^{μ v} = \frac{1}{μ_{0}} G^{μ a} F_{a β} F^{β v} + \frac{1}{4 μ_{0}} G^{μ v} F_{κ λ} F^{κ λ}$ $T^{\mu\nu} = \frac1{\mu_0} g^{\mu\alpha} F_{\alpha\beta} F^{\beta\nu} + \frac1{4\mu_0} g^{\mu\nu} F_{\kappa\lambda} F^{\kappa\lambda}$
Feld-Tensor:
$F^{μ v} = 2 \partial^{[μ} A^{v]} = \partial^{μ} A^{v} - \partial^{v} A^{μ}$ $F^{\mu\nu} = 2 \partial^{[\mu} A^{\nu]} = \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}$
d'Alembert-Operator:
$◻ = \partial_{μ} \partial^{μ}$ $\mathop\Box = \partial_\mu \partial^\mu$
Bianchi-Identität:
$\partial^{[μ} F^{v a]} = 0$ $\partial^{[\mu} F^{\nu\alpha]} = 0$

Bisher habe ich alle Definitionen in die Formel gesetzt, die ich zeigen muss, aber ich lande nur bei vielen Begriffen aus Antisymmetrisierung und Produktregel. Ich habe auch alles, was ich habe, in Penrose-Grafiknotation gezeichnet , aber ich kann immer noch nicht sehen, wie ich dieses Problem lösen soll.

Kann mir bitte jemand einen Tipp in die richtige Richtung geben?

Jorge Lavin

Ansehen

F_{α β}

$F_{\alpha \beta}$ In

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ich denke, dass

β

$\beta$ ist nicht richtig, weil die kostenlosen Indizes sind

μ ν

$\mu \nu$ und Sie haben einen zusätzlichen kostenlosen Index

β

$\beta$

twistor59

Der erste Term im Ausdruck for

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ sollte so etwas sein

F^{μ α} F_{α}^{ν}

$F^{\mu\alpha}F^{\nu}_{\alpha}$

Martin Üding

Tatsächlich habe ich es behoben. Ich habe es hier nur falsch eingegeben, das war bisher nicht die Quelle meiner Verwirrung.

Jerry Schirmer

Welche Terme sind dank Antisymmetrisierung automatisch Null? Welche können Sie dank des EOM von eliminieren?

A_{μ}

$A_{\mu}$ ?

Muphrid

Ich glaube, Sie übersehen die wichtigste Gleichung von allen: die

\partial_{μ} F^{μ ν} = μ_{0} j^{ν}

$\partial_\mu F^{\mu \nu} = \mu_0 j^\nu$ .

Jerry Schirmer

@twistor59: das hat er, er hat gerade den ersten Index mit der Metrik gesenkt.

Martin Üding

@JerrySchirmer: Da war ein

F

$F$ vorher gefehlt.

Benutzer10851

@queueoverflow Übrigens auf Englisch

g

$g$ wird für jede allgemeine Metrik verwendet, während

η

$\eta$ ist für die Minkowski-Metrik reserviert.

Antworten (1)

Zeigen Sie, dass ∂νTμν=−jνFμν∂νTμν=−jνFμν\partial_\nu T^{\mu\nu} = - j_\nu F^{\mu\nu}

Ansehen $F_{\alpha \beta}$ In $T_{\mu\nu}$ ich denke, dass $\beta$ ist nicht richtig, weil die kostenlosen Indizes sind $\mu \nu$ und Sie haben einen zusätzlichen kostenlosen Index $\beta$
Der erste Term im Ausdruck for $T^{\mu\nu}$ sollte so etwas sein $F^{\mu\alpha}F^{\nu}_{\alpha}$
Tatsächlich habe ich es behoben. Ich habe es hier nur falsch eingegeben, das war bisher nicht die Quelle meiner Verwirrung.
Welche Terme sind dank Antisymmetrisierung automatisch Null? Welche können Sie dank des EOM von eliminieren? $A_{\mu}$ ?
Ich glaube, Sie übersehen die wichtigste Gleichung von allen: die $\partial_\mu F^{\mu \nu} = \mu_0 j^\nu$ .
@twistor59: das hat er, er hat gerade den ersten Index mit der Metrik gesenkt.
@queueoverflow Übrigens auf Englisch $g$ wird für jede allgemeine Metrik verwendet, während $\eta$ ist für die Minkowski-Metrik reserviert.

Jakob · Answer 1

Schauen wir uns verschiedene Begriffe aus der Differenzierung an $T^{\mu\nu}$ .

Das erste vom Differenzieren $g^{\mu\alpha} F_{\alpha\beta} F^{\beta\nu}$ Ist

\partial_{v} G^{μ a} F_{a β} F^{β v} = G^{μ a} F_{a β} (\partial_{v} F^{β v}) + (\partial^{v} F^{μ β}) F_{β v} = - μ_{0} F_{a β} J^{β} + (\partial^{v} F^{μ β}) F_{β v}

$\partial_\nu g^{\mu\alpha} F_{\alpha\beta} F^{\beta\nu}= g^{\mu\alpha} F_{\alpha\beta} (\partial_\nu F^{\beta\nu}) +(\partial^\nu F^{\mu\beta}) F_{\beta\nu}= - \mu_0 F_{\alpha\beta} j^\beta +(\partial^\nu F^{\mu\beta}) F_{\beta\nu}$

Der erste Begriff ist genau das, was Sie wollen, der zweite steht im Widerspruch zu dem, was Sie durch Differenzieren erhalten $g^{\mu\nu} F_{\kappa\lambda} F^{\kappa\lambda}$ :

\partial^{μ} F_{κ λ} F^{κ λ} = 2 F_{κ λ} (\partial^{μ} F^{κ λ}) = - 2 F_{κ λ} (\partial^{κ} F^{λ μ} + \partial^{λ} F^{μ κ}) = - 4 (\partial^{v} F^{μ β}) F_{β v}

$\partial^\mu F_{\kappa\lambda} F^{\kappa\lambda}=2 F_{\kappa\lambda} (\partial^\mu F^{\kappa\lambda})=-2 F_{\kappa\lambda} (\partial^\kappa F^{\lambda\mu}+\partial^\lambda F^{\mu\kappa}) =-4 (\partial^\nu F^{\mu\beta}) F_{\beta\nu}$ wobei wir im zweiten Gleichheitszeichen die Bianchi-Identität und im letzten Gleichheitszeichen verwendet haben

F_{κ λ} \partial^{κ} F^{λ μ} \underset{Indizes umbenennen}{=} F_{v β} \partial^{v} F^{β μ} \underset{antisym. von F}{=} F_{β v} \partial^{v} F^{μ β}

$F_{\kappa\lambda} \partial^\kappa F^{\lambda\mu} \underset{\text{relabel indecies}}= F_{\nu\beta}\partial^\nu F^{\beta \mu} \underset{\text{antisym. of $F$}}= F_{\beta\nu}\partial^\nu F^{\mu\beta}$ Dies hebt genau den zweiten Term in der ersten Gleichung auf.

In Anbetracht von Murphrids Kommentar kann ich Ihrer Antwort bis auf das allerletzte Gleichheitszeichen folgen. Ich habe die Indizes in meinen Notizen so umbenannt, dass sie mit Ihren übereinstimmen, aber ich verstehe nicht, warum $\partial^\beta F^{\nu\mu} = \partial^\nu F^{\mu\beta}$ hält.
Das tut es nicht. Sie sollten die beiden Begriffe (einschließlich der $F_{\kappa \lambda}$ ) und benennen Sie die Dummy-Indizes für den zweiten Term um.

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twistor59

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Jakob

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Vibert

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