Ableitung des elektromagnetischen Spannungsenergietensors in gekrümmter Raumzeit

Das ist meine Ableitung

$$\begin{equation} T_{\mu\nu} = \frac{-2 c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{M}}{\delta g^{\mu\nu}} \; . \end{equation}$$

$$\begin{equation} S_{EM}[g^{\mu\nu},A^\mu] = \frac{-1}{4 \mu_0}\int d^4x \sqrt{-g} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \; , \end{equation}$$ $$\begin{eqnarray} \delta_g S_{EM} &=& \frac{-1}{4 \mu_0}\int d^4x \bigg[ \delta_g(\sqrt{-g})F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} + \sqrt{-g} \delta_g (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} ) \bigg] \; ,\\ &=&\frac{-1}{4 \mu_0}\int d^4x \bigg[ - \frac 1 2 d^4x \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} + \sqrt{-g} \delta_g (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} ) \bigg]\; .\\ \frac{\delta S_{EM}}{\delta g^{\mu\nu}} &=& \frac{-1}{4 \mu_0} \bigg[ - \frac 1 2 d^4x \sqrt{-g} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} + \sqrt{-g} \frac{\delta}{\delta g^{\mu\nu}} (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} ) \bigg]\; . (1) \end{eqnarray}$$ Betrachten Sie den letzten Term in der Vielbein-Form $$\begin{equation} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = e^I_\alpha e^J_\beta F_{IJ} e^\alpha_K e^\beta_L F^{KL}\; .(2) \end{equation}$$ Wir haben hier getan, um die flache Struktur zu isolieren ( $g_{\mu\nu}$-unabhängig) von gekrümmten Strukturen. Als nächstes wenden wir die Kettenregel an $$\begin{equation} \frac{\delta\,\,}{\delta g^{\mu\nu}} = \frac{\delta\,\,}{\delta e^\lambda_P} \; \frac{\delta e^\lambda_P\,}{\delta g^{\mu\nu}}\;. (3) \end{equation}$$ Aus $g^{\mu\nu} = \eta^{MP}e^\mu_M e^\nu_P \;$wir haben $$\begin{equation} \delta g^{\mu\nu} = 2 \eta^{MP}e^\mu_M \delta^\nu_\lambda \, \delta e^\lambda_P\; .(4) \end{equation}$$ Unter Verwendung von (2), (3) und (4) können wir den letzten Term von (1) als berechnen $$\begin{eqnarray} \frac{\delta (F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} )}{\delta g^{\mu\nu}} &=& \frac{\delta}{\delta e^\lambda_P} (e^I_\alpha e^J_\beta F_{IJ} e^\alpha_K e^\beta_L F^{KL} ) \; \frac{\delta e^\lambda_P\,}{\delta g^{\mu\nu}}\;\\ &=& 4 e^I_\alpha e^J_\beta e^\alpha_K \frac{\delta e^\beta_L}{\delta e^\lambda_P} F_{IJ} F^{KL} \;\frac{\delta e^\lambda_P\,}{\delta g^{\mu\nu}}\;\\ &=& ( 4 e^I_\alpha e^J_\beta e^\alpha_K \delta^\beta_\lambda \delta^P_L F_{IJ} F^{KL} )(\frac 1 2 \eta_{MP} e^M_\mu \delta^\lambda_\nu )\;,\\ &=& 2 e^I_\alpha e^J_\beta e^\alpha_K \delta^\beta_\lambda \delta^P_L \delta^\lambda_\nu \, e^M_\mu \eta_{MP} \, F_{IJ}F^{KL}\;,\\ &=& 2 e^I_\alpha e^J_\nu e^\alpha_K e_{L \mu } F_{IJ} F^{KL}\;,\\ &=& 2 F_{\alpha \nu} F^\alpha {}_\mu = 2 g^{\alpha\beta} F_{\alpha \mu} F_{\beta \nu} \; . \end{eqnarray}$$ Dann erhalten wir $$\begin{equation} \frac{\delta S_{EM}}{\delta g^{\mu\nu}} = \frac{1}{8 \mu_0} d^4x \sqrt{-g} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} - \frac{1}{4 \mu_0} d^4x \sqrt{-g} (2 g^{\alpha\beta} F_{\alpha\mu} F_{\beta\nu})\;, \end{equation}$$ und der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes lautet $$\begin{equation} T_{\mu\nu} = \frac{-2 c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{EM}}{\delta g^{\mu\nu}} = \frac c {\mu_0}g^{\alpha\beta} F_{\alpha\mu} F_{\beta\nu} -\frac {c} {4 \mu_0} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \; . \label{TEM} \end{equation}$$

Beginnen Sie mit der Hamilton-Dichte, der Größe im Integranden aus der Definition des Hamilton-Operators:

$$H = \int d^3x \left( \psi_{,0} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_{,0}} - \mathcal{L} \right) \equiv \int d^3x \,\mathcal{H}$$ $\mathcal{L}$bezeichnet natürlich die Lagrange-Dichte. Seit $\mathcal{H}$der Hamiltonschen Dichte entspricht, sollte es die sein $(00)$Komponente des Energie-Impuls-Tensors, dh $T_{0}^{0}.$Anstelle eines generischen Feldes $\psi$, stecken Sie das Photonenfeld ein $A_\mu$und aktualisieren Sie die Gleichung auf die vollständige kovariante Form: $$T_{\mu}^{\nu} = A_{\sigma ,\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\sigma ,\nu}} - \delta^{\nu}_{\mu} \mathcal{L}_{ED}$$ Seit $$\mathcal{L}_{ED} = -\frac{1}{4}F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$$ $$F^{\mu \nu} = A^{\nu,\mu} - A^{\mu,\nu}$$ eine einfache Rechnung ergibt $$T_{\mu}^{\, \, \nu} = \frac{1}{4} \left( -A^{\sigma}_{,\mu}F^{\nu}_{\,\, \sigma} + \frac{1}{4} \delta^{\nu}_{\mu} F^{\sigma \rho} F_{\sigma \rho} \right).$$ Dies ist der kanonische Energie-Impuls-Tensor, der im Allgemeinen weder symmetrisch noch eichinvariant ist. Um das zu beheben, machen Sie den Tensor einfach symmetrisch, indem Sie einen geeigneten (im Grunde irrelevanten) Term hinzufügen $S_{\sigma \mu \nu}$so dass: $$S_{\sigma \mu \nu} = - S_{\mu \sigma \nu}$$ $$\bar{T}_{\mu}^{\, \, \nu} = \bar{T}_{\nu}^{\, \, \mu} = T_{\mu}^{\, \, \nu} + \partial^\sigma S_{\sigma \mu \nu}$$ was Ihnen den richtigen Ausdruck geben sollte. Übrigens, der Begriff, den Sie erhalten sollten, ist $S_{\mu \nu \sigma} = A_\sigma F_{\mu\nu}$. Sie können es einfach anschließen, wie Sie es mit jedem anderen Ansantz tun würden , und sehen, was es tut.

Ich habe zum Schreiben dieser Antwort nicht die vollständige Berechnung selbst durchgeführt, daher bin ich möglicherweise durch ein Minuszeichen, eine multiplikative Konstante oder bis zu einer Permutation / Umbenennung von Indizes falsch. Sagen Sie mir, wenn Sie etwas falsch sehen (oder bearbeiten Sie die Antwort selbst). Aber das sollte ausreichen, um Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, wie Sie es ableiten können.