Einstein-Gleichung und Skalarfeld-Spannungsenergie-Tensor

Question

Einstein-Gleichung und Skalarfeld-Spannungsenergie-Tensor

Andrew McAddams

Lassen Sie uns eine Wechselwirkung zwischen gravitativen und skalaren reellen Feldern haben. Für eine Wirkung des Gravitationsfeldes im Vakuum füge ich den Begriff hinzu $S_{m} = \int d^{4}x\sqrt{-g}L_{m}$ , Wo

L_{M} = \frac{1}{2} G^{μ v} \partial_{μ} φ \partial_{v} φ - v (φ)

$L_{m} = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu} \varphi - V(\varphi )$ Also die Abwechslung

δ S_{m}

$\delta S_{m}$ muss geben

\frac{1}{2} \int d^{4} x \sqrt{- g} δ (g^{μ ν}) T_{μ ν}

$\frac{1}{2}\int d^{4}x \sqrt{-g}\delta (g^{\mu \nu})T_{\mu \nu}$ , Wo

T_{μ ν}

$T_{\mu \nu}$ bezieht sich auf den Spannungs-Energie-Tensor des skalaren reellen Feldes. Ich habe es versucht, aber das führt mich zur Antwort

δ S_{M} = \int D^{4} X δ (\sqrt{- G}) L_{M} +

$\delta S_{m} = \int d^{4}x\delta (\sqrt{-g})L_{m} +$

+ \int D^{4} X \sqrt{- G} (\frac{1}{2} δ (G^{μ v}) \partial_{μ} φ \partial_{v} φ - G^{μ v} \partial_{μ} φ \partial_{v} δ φ - \frac{\partial v (φ)}{\partial φ} δ φ) =

$+\int d^{4}x \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2}\delta (g^{\mu \nu})\partial_{\mu} \varphi \partial_{\nu} \varphi - g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu} \delta \varphi - \frac{\partial V( \varphi )}{\partial \varphi }\delta \varphi\right)=$

= \frac{1}{2} \int D^{4} X \sqrt{- G} δ (G^{μ v}) T_{μ v} + \int D^{4} X \sqrt{- G} (G^{μ v} \partial_{μ} φ \partial_{v} δ φ - \frac{\partial v (φ)}{\partial φ} δ φ) .

$=\frac{1}{2}\int d^{4}x\sqrt{-g}\delta (g^{\mu \nu})T_{\mu \nu} + \int d^{4}x\sqrt{-g}\left( g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu} \delta \varphi - \frac{\partial V( \varphi )}{\partial \varphi }\delta \varphi\right).$ Was tun mit dem zweiten Integral? Ist es nach der Euler-Lagrange-Gleichung gleich Null, oder kann ich das nicht sagen?

Jerry Schirmer

Nur eine Spitzfindigkeit, aber Sie sollten in Ihrer Aktion kovariante Ableitungen verwenden. Für erste Integrale spielt es keine Rolle, aber wenn Sie partiell integrieren und den EOM für Ihr Klein-Gordon-Feld erhalten möchten, haben Sie es viel einfacher, wenn alles kovariant ist.

Andrew McAddams

@JerrySchirmer: ja, da stimme ich zu. Ich habe die nicht-kovariante Ableitung nur verwendet, weil ich mit Skalarfunktionen gearbeitet habe.

Antworten (2)

Einstein-Gleichung und Skalarfeld-Spannungsenergie-Tensor

Nur eine Spitzfindigkeit, aber Sie sollten in Ihrer Aktion kovariante Ableitungen verwenden. Für erste Integrale spielt es keine Rolle, aber wenn Sie partiell integrieren und den EOM für Ihr Klein-Gordon-Feld erhalten möchten, haben Sie es viel einfacher, wenn alles kovariant ist.
@JerrySchirmer: ja, da stimme ich zu. Ich habe die nicht-kovariante Ableitung nur verwendet, weil ich mit Skalarfunktionen gearbeitet habe.

JoshPhysik · Answer 1

Der Ausdruck für $\delta S_m$ dass Sie Holds erwarten, vorausgesetzt, die von Ihnen durchgeführte Variation ist nur die Variation in Bezug auf die inverse Metrik; es sollte nein geben $\delta\varphi$ Bedingungen. Mit anderen Worten; Satz $\delta\varphi = 0$ , und Sie erhalten den gewünschten Ausdruck.

Siehe zum Beispiel Carroll Spacetime and Geometry S.164, er führt die gleiche Berechnung durch und bemerkt ausdrücklich

„Nun variieren Sie diese Aktion in Bezug auf nicht $\phi$ , aber zur inversen Metrik ... "

Im Allgemeinen ist der Spannungstensor tatsächlich so definiert, dass er proportional zur funktionalen Ableitung der Wirkung in Bezug auf die inverse Metrik ist;

\begin{aligned} T_{μ v} = - 2 \frac{1}{\sqrt{- G}} \frac{δ S}{δ G^{μ v}} \end{aligned}

$\begin{align} T_{\mu\nu} = -2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}} \end{align}$

Benutzer91126 · Answer 2

Benutzer91126

Variationen der Aktion müssen in Bezug auf das Feld durchgeführt werden, für das Sie die Bewegungsgleichungen erhalten möchten. Sie haben in Bezug auf das metrische Feld und die variiert $\phi$ Feld gleichzeitig. Was du gemacht hast ist nicht unbedingt falsch, da die Variationen unabhängig voneinander sind, hat dich aber in Verwirrung geführt. Tatsächlich sind Sie sich nicht sicher, wie Sie sich verhalten sollen. Sie können jedoch die Euler-Lagrange-Gleichung für das Feld anwenden $\phi$ und dann zum Schluss kommen (sowie put $\delta \phi = 0$ da Sie nicht in Bezug auf variieren $\phi$ ).

Andrew McAddams

Danke für die Antwort. Aber ich denke, dass Ihre zweite Gleichheit ein falsches Vorzeichen hat:

G_{μ v} G^{μ v} = 4 \Rightarrow δ (G_{μ v} G^{μ v}) = 0 \Rightarrow G_{μ v} δ G^{μ v} = - G^{μ v} δ G_{μ v} .

$g_{\mu \nu}g^{\mu \nu} = 4 \Rightarrow \delta(g_{\mu \nu}g^{\mu \nu}) = 0 \Rightarrow g_{\mu \nu}\delta g^{\mu \nu} = -g^{\mu \nu}\delta g_{\mu \nu}.$

Benutzer91126

Du hast recht, tut mir leid. Ich habe es repariert.

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Andrew McAddams

Jerry Schirmer

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JoshPhysik

Trimok

Benutzer91126

Andrew McAddams

Benutzer91126

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