Ableitung des kanonischen Energie-Impuls-Tensors

In der Mathematik für Physik von Stein und Goldbart wird der kanonische Energie-Impuls-Tensor durch das Wirkungsprinzip wie folgt abgeleitet.

Zur Aktion des Formulars

$$S=\int \mathcal{L}(\varphi,\varphi_\mu) \, \mathrm{d}^{d+1}x ,$$

Wo$\mathcal{L}$die Lagrangigan-Dichte und$\varphi_\mu = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$ist, machen wir die Variation der Form

$$\varphi(x) \rightarrow \varphi(x^\mu + \varepsilon^\mu(x)) = \varphi (x^\mu) + \varepsilon^\mu(x)\partial_\mu\varphi+O(|\varepsilon|^2) ,$$ Wo $x=(x^0,...,x^d)$Ist.

Dann ist die resultierende Variation

$$\delta S= \int \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi} \varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \partial_\nu(\varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi) \right)\mathrm{d}^{d+1}x$$ $$= \int \varepsilon^\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu} \left( \mathcal{L} \delta^\nu_\mu -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \partial_\mu \varphi \right)\, \mathrm{d}^{d+1}x.$$

Ich verstehe, dass von Zeile 1 bis 2 eine Art Integration nach Teilen erfolgt. Wenn ich das jedoch versuche, stoße ich auf Probleme und bekomme die zweite Zeile nicht. Kann es jemand explizit machen, damit ich erfahre, wo ich den Fehler gemacht habe.

BEARBEITEN

Meine Schritte sind

$$\delta S=\int_\Omega \frac{\delta S}{\delta \varphi(x)} \mathrm{d}\Omega,$$ Wo $\Omega$zu integrierende Region ist.

$$=\int_\Omega \delta\varphi\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \right) \mathrm{d}\Omega$$

$$=\int_\Omega \varepsilon^\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \right) \mathrm{d}\Omega \qquad \because \delta\varphi= \varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi$$

$$=\int_\Omega \varepsilon^\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu}\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu} \right) \mathrm{d}\Omega$$

Jetzt kann ich ausziehen$\partial_\nu$Jedoch$\partial_\nu$wirkt nur auf$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu}$und nicht an$\frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$. ich dachte$\partial_\nu\frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$könnte Null sein, damit ich die partielle Ableitung aus der Klammer nehmen kann, aber ich verstehe nicht, warum das wahr sein sollte. Wenn ich es herausnehmen würde, komme ich auf die Gleichung in der zweiten Zeile oben.