Skalares Feld in gekrümmten Räumen

Question

Skalares Feld in gekrümmten Räumen

Physik
Feldtheorie
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus
Hausaufgaben-und-Übungen
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Gertian

Wie finden wir den Energie-Impuls-Tensor als Noether-Ladung für Translationen in gekrümmten Räumen. Dies sollte immer noch existieren, da die Aktion immer noch ein Integral über den Raum ist, so dass sie unter Übersetzungen invariant ist, oder?

Versuch einer Lösung

Unser Lagrange hat die Form: $\mathcal{L} = \mathcal{L}[\phi, \partial_\mu \phi]$ und die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen sind:

\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \nabla_{μ} \frac{\partial L}{\partial \partial_{μ} ϕ} = 0

$\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \nabla_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi} = 0$

1) Um die Noether-Ladung zu erhalten, müssen wir verlangen, dass die On-Shell-Variation von $\mathcal{L}$ tatsächlich ein Oberflächenbegriff ist, finden wir Folgendes:

δ L = \frac{\partial L}{\partial ϕ} δ ϕ + \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial \partial_{μ} ϕ} δ ϕ) - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial \partial_{μ} ϕ}) δ ϕ

$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \phi + \partial_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}\delta \phi) - \partial_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi})\delta \phi$ Die beiden partiellen Ableitungen im zweiten und dritten Term können in kovariante Ableitungen umgewandelt werden, da sich die zusätzlichen Christoffel-Symbole aufheben. Danach stellen wir fest, dass sich der erste und der dritte Term aufgrund der Bewegungsgleichungen aufheben, so dass wir am Ende erhalten:

δ L = \nabla_{μ} (\frac{\partial L}{\partial \partial_{μ} ϕ} δ ϕ)

$\delta \mathcal{L} = \nabla_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}\delta \phi)$

2) Wir müssen auch die Variation des Lagragians untersuchen, aufgrund der Variation der Felder sind diese Änderungen:

$x^\mu \rightarrow x^\mu + \epsilon^\mu$ so dass $\phi \rightarrow \phi + \epsilon^\mu \partial_\mu \phi$ daher finden wir das (für einen freien Skalar):

δ L = - \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} δ ϕ

$\delta \mathcal{L} = -\partial_\mu \phi \partial^\mu \delta \phi$

= - \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} (ϵ^{κ} \partial_{κ} ϕ)

$=-\partial_\mu \phi \partial^\mu(\epsilon^\kappa \partial_\kappa \phi)$

= ϵ^{κ} \partial_{κ} (- 1 / 2 \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ) = ϵ^{κ} \partial_{κ} (L)

$=\epsilon^\kappa \partial_\kappa(-1/2 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi) = \epsilon^\kappa \partial_\kappa(\mathcal{L})$

3) Der nächste Schritt besteht normalerweise darin, dies zu sagen $j_\mu$ = (1) - (2) erhalten bleibt $(\nabla_\mu J^\mu = 0)$ aber ich kann keine Möglichkeit finden, (2) so umzuschreiben, dass es nur kovariante Ableitungen enthält. Ich glaube, ich irre mich irgendwo in meiner Ableitung von Punkt 2, aber ich kann es nicht herausfinden ...

Jede Hilfe wäre sehr willkommen! :)

Antworten (3)

Skalares Feld in gekrümmten Räumen

Kosm · Answer 1

Noethers Strom der lokalen Translationssymmetrie (= Diffeomorphismus-Invarianz) in der gekrümmten Raumzeit ist tatsächlich der Spannungs-Energie-Tensor. Um es abzuleiten, erinnern Sie sich an die infinitesimale Koordinatentransformation, $x^m\rightarrow x^m+\epsilon^m$ , induziert die Transformation des metrischen Tensors, $g^{mn}\rightarrow g^{mn}+\nabla^m\epsilon^n +\nabla^n\epsilon^m$ ( $\nabla^m$ = kovariante Ableitung).

Variieren Sie die Aktion bzgl. der Metrik und ihrer Ableitung.

\begin{matrix} (1) & δ S = δ \int D^{4} X \sqrt{- G} L = \int D^{4} X [\frac{\partial \sqrt{- G} L}{\partial G^{M N}} δ G^{M N} + \frac{\partial \sqrt{- G} L}{\partial (\partial_{P} G^{M N})} δ (\partial_{P} G^{M N})] . \end{matrix}

$\delta S=\delta\int d^4x\sqrt{-g}\mathcal{L}=\int d^4x\left[ \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}\delta g^{mn}+\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\delta(\partial_p g^{mn}) \right].\tag{1}$

Integrieren Sie den zweiten Term in Teile $(1)$ , Dann

\begin{matrix} (2) & δ S = \int D^{4} X [\frac{\partial \sqrt{- G} L}{\partial G^{M N}} - \partial_{P} (\frac{\partial \sqrt{- G} L}{\partial (\partial_{P} G^{M N})})] δ G^{M N} = \end{matrix}

$\delta S=\int d^4x\left[ \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}-\partial_p\left(\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\right) \right]\delta g^{mn}= \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & = \int D^{4} X \sqrt{- G} T_{M N} \nabla^{M} ϵ^{N} \end{matrix}

$=\int d^4x\sqrt{-g}\;T_{mn}\nabla^m\epsilon^n \tag{3}$

wo ich im letzten Schritt verwendet habe $\delta g^{mn}=\nabla^m\epsilon^n +\nabla^n\epsilon^m$ und definierter Spannungs-Energie-Tensor $T_{mn}$ als

\frac{1}{2} \sqrt{- G} T_{M N} \equiv \frac{\partial \sqrt{- G} L}{\partial G^{M N}} - \partial_{P} (\frac{\partial \sqrt{- G} L}{\partial (\partial_{P} G^{M N})}) .

$\frac{1}{2}\sqrt{-g}\;T_{mn}\equiv \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}-\partial_p\left(\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\right).$

Teilweise integrieren $(3)$ , haben wir endlich

\begin{matrix} (4) & δ S = \int D^{4} X \sqrt{- G} ϵ^{N} \nabla^{M} T_{M N} = 0. \end{matrix}

$\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\;\epsilon^n\nabla^m T_{mn}=0.\tag{4}$

Es gibt also 4 kovariant erhaltene Ströme $(T_{m})_{n}$ verbunden mit 4 Übersetzungen $\epsilon^n$ .

Das ist allgemein. Für Ihren speziellen Fall ist der zweite Begriff in $(1)$ wird verschwinden.

Aktualisieren: $\nabla^m T_{mn}=0$ bedeutet, dass der Spannungs-Energie-Tensor im Allgemeinen nur erhalten bleibt, wenn wir einen ausreichend kleinen Bereich der Raumzeit (dh lokal) nehmen, in dem die Krümmung vernachlässigbar ist. In diesem Fall würden Christoffel-Symbole verschwinden und $\nabla^m T_{mn}$ auf ein richtiges Naturschutzgesetz reduzieren würde $\partial^m T_{mn}=0$ . Eine ordnungsgemäße Konservierung ist auch möglich, wenn Killing-Vektoren vorhanden sind, wie von Jerry Schirmer und Qmechanic betont.

Warum wirkt sich die Übersetzung nicht auf die Felder selbst aus? Und außerdem bin ich jetzt etwas verwirrt, da andere Antworten darauf hindeuten, dass die Übersetzungssymmetrie verloren geht und Sie sie immer noch anzuwenden scheinen?
Übersetzungen wirken sich auf andere Felder aus und erzeugen entsprechende Terme, aber diese Terme heben sich aufgrund der Bewegungsgleichungen auf, sodass es ausreicht, die Variation bzgl. der Metrik zu berücksichtigen. Zur zweiten Frage habe ich die Antwort aktualisiert.

Jerry Schirmer · Answer 2

Sie haben im Allgemeinen keine Übersetzungssymmetrie. Dazu benötigen Sie einen translationalen Killing-Vektor der Metrik. Wenn Sie davon ausgehen, dann $L_{v}\sqrt{|g|} = 0$ (Es tut mir leid, weder \pounds \textsterling noch \mathsterling funktionieren in unserer Version von MathJax, ich meine Lügenableitung in Bezug auf den translationalen Tötungsvektor), und der übliche Beweis funktioniert, ansonsten tötet die Inhomogenität der Metrik den Noether Aufladung.

Die Metrik, an der ich interessiert bin (Rindler), hat einen tödlichen Vektor $\partial_t$ aber wie hilft mir das beim üblichen Beweis? ps: Ich denke, dass \mathcal{} funktioniert

QMechaniker · Answer 3

OP fragt, wie Noethers erster Satz angewendet werden soll :

Wie finden wir den Energie-Impuls-Tensor als Noether-Ladung für Translationen in gekrümmten Räumen?

Das Problem ist, dass durch die Annahme einer generischen gekrümmten Raumzeit-Mannigfaltigkeit ( $M,g$ ) haben wir die Translationssymmetrie verloren, die wir im Minkowski-Raum genossen haben $\mathbb{R}^{3,1}$ . Es gibt kein kostenloses Mittagessen. Wie in Jerry Schirmers Antwort gesagt, benötigen wir eine Killing-Symmetrie , um eine konservierte Ladung / Menge auf der Schale zu konstruieren.
Wir können jedoch immer noch den symmetrischen Hilbert-Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensor definieren $T^{\mu\nu}$ . Die Diffeomorphismus-Invarianz führt entweder über Noethers ersten oder zweiten Satz (Ref. 1 & Kosms Antwort verwenden den zweiten Satz) zu
$\begin{matrix} (A) & \nabla_{μ} T^{μ v} \overset{M}{\approx} 0 \end{matrix}$ $\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0 \tag{A}$ für eine beliebige Metrik $g_{\mu\nu}$ , vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . [Hier das $\stackrel{m}{\approx}$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo matter eom. Die Verbindung $\nabla$ ist die Levi-Civita-Verbindung.]
Es ist wichtig zu erkennen, dass es im Allgemeinen keine auf der Schale erhaltenen Ladungen/Mengen gibt, die mit Gl. (A), vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. Wir brauchen immer noch eine Killing-Symmetrie.

Verweise:

RM Wald, GR, Anhang E.1.

Vielen Dank für die breite Antwort mit vielen relevanten Links! Ich verstehe jetzt, dass ich nicht versuchen sollte, Noethers Theorie zu beweisen, sondern eher zu konstruieren $T^{\mu\nu}$ so dass es kovariant konstant und symmetrisch ist, und es dann mit Tötungsvektoren kontrahieren. Eine Frage bleibt: Gibt es eine "bekannte" Ableitung für $T^{\mu\nu}$ als keine andere Anklage wegen Diffeomorphismus, weil ich sie nicht finde (oder ist Kosms Antwort genau das?) PS: Ich weiß was $T^{\mu\nu}$ ist konstruktionsbedingt, ich möchte es nur mit einer Symmetrie verknüpfen ...

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