Energie-Impuls-Tensor der transformierten Dirac-Lagrange-Funktion

Question

Energie-Impuls-Tensor der transformierten Dirac-Lagrange-Funktion

Physik
Feldtheorie
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus
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Stress-Energie-Impuls-Tensor

Johanni

Betrachten Sie den Standard-Dirac-Lagrangian, $\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi$ , und eine transformierte, die sich durch eine totale Ableitung unterscheidet

L^{'} = L - \frac{ich}{2} \partial_{μ} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ) .

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right).$

Es kann gezeigt werden, dass der Energie-Impuls-Tensor, der aus dem Dirac-Lagrange-Operator berechnet wird, ist $T^{\mu\nu}=i\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi$ . Angesichts dessen sollte es möglich sein zu beweisen, dass der berechnete Energie-Impuls-Tensor aus $\mathcal{L}'$ wird von gegeben $T'^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)$ .

Ich habe versucht, es zu tun, aber ich kann es nicht beenden. Ich verwende die Standardformel für den Energie-Impuls-Tensor,

T^{μ v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ψ)} \partial^{v} ψ - η^{μ v} L

$T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\psi\right)}\partial^{\nu}\psi-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}$

und tun,

\begin{array}{ll} T^{' μ v} & = \frac{ich}{2} \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - η^{μ v} (L - \frac{ich}{2} \partial_{μ} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ)) \\ = T^{μ v} - \frac{ich}{2} \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ + \frac{ich}{2} \partial^{v} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ) \\ = T^{μ v} + \frac{ich}{2} (\partial^{v} \bar{ψ}) γ^{μ} ψ \\ = ? \end{array}

$\begin{array}{ll} T'^{\mu\nu} & =\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\eta^{\mu\nu}\left(\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi+\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\\ & =T^{\mu\nu}+\frac{i}{2}\left(\partial^{\nu}\overline{\psi}\right)\gamma^{\mu}\psi\\ & =? \end{array}$

Bearbeiten:

Nach dem Vorschlag von @ Quantum spaghettification bekomme ich

\begin{array}{ll} T^{' μ v} & = \frac{\partial L^{'}}{\partial (\partial_{μ} ψ)} \partial^{v} ψ + \frac{\partial L^{'}}{\partial (\partial_{μ} \bar{ψ})} \partial^{v} \bar{ψ} - η^{μ v} L^{'} \\ = \frac{ich}{2} \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - \frac{ich}{2} γ^{μ} ψ \partial^{v} \bar{ψ} - η^{μ v} (L - \frac{ich}{2} \partial_{μ} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ)) \\ = T^{μ v} - \frac{ich}{2} \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - \frac{ich}{2} γ^{μ} ψ \partial^{v} \bar{ψ} + \frac{ich}{2} \partial^{v} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ) \\ = T^{μ v} - \frac{ich}{2} γ^{μ} ψ \partial^{v} \bar{ψ} + \frac{ich}{2} (\partial^{v} \bar{ψ}) γ^{μ} ψ \\ = ? \end{array}

$\begin{array}{ll} T'^{\mu\nu} & =\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\left(\partial_{\mu}\psi\right)}\partial^{\nu}\psi+\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\left(\partial_{\mu}\overline{\psi}\right)}\partial^{\nu}\overline{\psi}-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}'\\ & =\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}-\eta^{\mu\nu}\left(\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}+\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}+\frac{i}{2}\left(\partial^{\nu}\overline{\psi}\right)\gamma^{\mu}\psi\\ & =? \end{array}$

QMechaniker

Denken Sie zunächst einmal darüber nach: 1. Wie

ψ

$\psi$ Und

\bar{ψ}

$\bar{\psi}$ sind verwandt. 2. Linke und rechte Ableitung und Anordnung von ungeraden Grassmann-Feldern.

Johanni

@Qmechanic Ich habe noch nicht gelernt, was Sie in (2) erwähnen. Kann ich das nicht einfach mit Algebra machen?

Antworten (2)

Energie-Impuls-Tensor der transformierten Dirac-Lagrange-Funktion

Denken Sie zunächst einmal darüber nach: 1. Wie $\psi$ Und $\bar{\psi}$ sind verwandt. 2. Linke und rechte Ableitung und Anordnung von ungeraden Grassmann-Feldern.
@Qmechanic Ich habe noch nicht gelernt, was Sie in (2) erwähnen. Kann ich das nicht einfach mit Algebra machen?

Giorgio Comitini · Answer 1

Vergessen Sie die Anti-Pendel-Natur der Dirac-Felder: Wenn Sie an diesem Problem festsitzen, sind Sie wahrscheinlich sowieso nicht dorthin gekommen. Einfach definieren $T^{\mu\nu}$ als

T^{μ v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ψ)} \partial^{v} ψ + \partial^{v} \bar{ψ} \frac{\partial L}{\partial_{μ} \bar{ψ}} - η^{μ v} L

$T^{\mu\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\ \partial^{\nu}\psi+\partial^{\nu}\bar{\psi}\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial_{\mu}\bar{\psi}}-\eta^{\mu\nu}\, \mathcal{L}$

Dies ist die spezifische Form des Tensors, der in Someone's answer für den Fall des Dirac-Feldes geschrieben ist. Beachten Sie die Reihenfolge der Faktoren im zweiten Term: $\bar{\psi}$ ist ein Zeilenvektor und muss daher nach links geschrieben werden. Die Definition in der Antwort von Q. spaghettification hat dies übersehen, ansonsten ist es genauso.

Nun, Ihre erste Definition war einfach falsch. In der Bearbeitung war die Definition bis auf die Reihenfolge im zweiten Term korrekt. Was die dritte Zeile in Ihrer Bearbeitung betrifft, gibt es einen Fehler: Sie sollte lauten

T^{' μ v} = T^{μ v} - \frac{ich}{2} \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - \frac{ich}{2} (\partial_{v} \bar{ψ}) γ^{μ} ψ + \frac{ich}{2} η^{μ v} \partial_{σ} (\bar{ψ} γ^{σ} ψ) (⋆)

$T'^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}(\partial_{\nu}\bar{\psi})\gamma^{\mu}\psi+\frac{i}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_{\sigma}(\bar{\psi}\gamma^{\sigma}\psi)\quad (\star)$

weil die Indizes der Gamma-Matrix und der Ableitung im letzten Term gesättigt sind: Sie können sie nicht mit denen der Metrik kontrahieren. Nun sind der zweite und der dritte Term die gesuchte Ableitung:

- \frac{ich}{2} \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - \frac{ich}{2} (\partial_{v} \bar{ψ}) γ^{μ} ψ = - \frac{ich}{2} \partial_{v} (\bar{ψ} γ^{μ} ψ)

$-\frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}(\partial_{\nu}\bar{\psi})\gamma^{\mu}\psi=-\frac{i}{2}\partial_{\nu}(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)$

Verwenden Sie für den letzten Term die Dirac-Gleichungen zum Schreiben

ich \partial_{σ} (\bar{ψ} γ^{σ} ψ) = \bar{ψ} (ich γ^{σ} \partial_{σ} ψ) + (ich \partial_{σ} \bar{ψ} γ^{σ}) ψ = M \bar{ψ} ψ - M \bar{ψ} ψ = 0

$i\partial_{\sigma}(\bar{\psi}\gamma^{\sigma}\psi)=\bar{\psi}(i\gamma^{\sigma}\partial_{\sigma}\psi)+(i\partial_{\sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma})\psi=m\bar{\psi}\psi-m\bar{\psi}\psi=0$

Falls Sie es nicht wussten, die Dirac-Gleichung für $\bar{\psi}$ Ist

ich \partial_{σ} \bar{ψ} γ^{σ} = - M \bar{ψ}

$i\partial_{\sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma}=-m\bar{\psi}$

Als letztes Semester in $(\star)$ Null ist und der zweite und dritte Term die Divergenz bilden, haben Sie Ihr Ergebnis.

Danke, dass du mir geholfen hast, es zu verstehen. Ein paar Kommentare: Ich verstehe den Grund für die Änderung der Reihenfolge in diesem zweiten Term für den Fall des Dirac-Felds nicht ganz (ich werde das nehmen, um weiterzumachen und später zu versuchen, herauszufinden, warum); Ich denke, das passiert nie für Skalarfelder, aber könnte es passieren, wenn wir mit einem Lagrange für die arbeiten $\overrightarrow{A}$ Feld? Was den letzten Begriff betrifft, dachte ich, ich könnte nicht die gleichen Indizes verwenden, aber da ich keine Ideen mehr hatte, ließ ich es passieren ... Danke.
Ohne tiefen Grund. Schauen Sie sich einfach die Definition von Someone an (die für jede Art von Feld gültig ist, sei es Skalar, Spinor, Vektor usw.) und denken Sie daran, dass wir mit Zahlen arbeiten. $\partial^{\nu}\phi_{i}$ , eine (ortsabhängige) Zahl, kommutiert mit der Ableitung der Lagrange-Funktion, sodass Sie die Reihenfolge der Faktoren beliebig umkehren können. Das Dirac-Feld ist ein komplexer Vektor mit 4 Komponenten, also sollte man es wirklich so schreiben $\psi_{i}$ , mit $i=1,\dots,4$ . Dasselbe gilt für $\bar{\psi}_{i}$ . Jedoch, ...
... wenn Sie den Ausdruck implizit schreiben (zB $\sum_{i}\bar{\psi}_{i}\psi_{i}=\bar{\psi}\psi$ ) der Zeilenvektor ( $\bar{\psi}$ ) muss links geschrieben werden, während der Spaltenvektor ( $\psi$ ) muss rechts geschrieben werden. Dies ist dasselbe wie eine einfache Matrixmultiplikation. Du würdest nicht schreiben $\psi\bar{\psi}$ , denn dies würde Ihnen keine Zahl geben, sondern eine 4x4-Matrix.
Es passiert für $n$ -Tupel von Skalarfeldern auch, wenn Sie die Indizes implizit lassen: Sie würden schreiben $\Phi^{\dagger}\Phi$ , nicht $\Phi\Phi^{\dagger}$ .

Cham · Answer 2

Der allgemeine kanonische Energie-Impuls-Tensor wird durch diese Komponenten definiert:

\begin{matrix} (1) & T^{μ v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{ich})} \partial^{v} ϕ_{ich} - η^{μ v} L, \end{matrix}

$\tag{1} T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_i )}\partial^{\nu}\phi_i-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L},$ Wo

ϕ_{i}

$\phi_i$ sind alle unabhängigen Komponenten der Felder im Spiel. Da der Dirac

ψ

$\psi$ hat 8 reelle Zahlen (4 komplexe Komponenten), Sie müssen auch die Beiträge aus addieren

\bar{ψ}

$\overline{\psi}$ .

Es ist auch sehr wichtig , sich daran zu erinnern, dass der kanonische Energie-Impuls-Tensor bis zu einer Divergenz definiert ist $\partial_{\alpha} \, \Theta^{\alpha \mu \nu}$ , Wo $\Theta^{\alpha \mu \nu} = -\, \Theta^{\mu \alpha \nu}$ . Dies gibt Ihnen die Möglichkeit, eine symmetrische Version von zu finden $T^{\mu \nu}$ ohne die Physik zu verändern (Gesamtenergie und Impuls in den Feldern).

Beachten Sie, dass Ihr Lagrange:

L = \bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) ψ,

$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi,$ ist keine reelle Zahl. Obwohl dies kein wirkliches Problem darstellt, ist es normalerweise vorzuziehen, dass die Feldaktion als reelle Zahl definiert wird:

\begin{matrix} (2) & L_{R e A l} = \frac{ich}{2} (\bar{ψ} γ^{μ} (\partial_{μ} ψ) - (\partial_{μ} \bar{ψ}) γ^{μ} ψ) - M \bar{ψ} ψ . \end{matrix}

$\tag{2} \mathcal{L_{\mathrm{real}}}= \frac{i}{2} \Big( \, \overline{\psi} \, \gamma^{\mu} \,(\partial_{\mu} \, \psi \,) - (\partial_{\mu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\mu} \, \psi \, \Big) - m \, \overline{\psi} \, \psi.$

Der volle symmetrische Energie-Impuls ist dann

\begin{matrix} (3) & T^{μ v} = \frac{ich}{4} (\bar{ψ} γ^{μ} (\partial^{v} ψ) + \bar{ψ} γ^{v} (\partial^{μ} ψ) - (\partial^{μ} \bar{ψ}) γ^{v} ψ - (\partial^{v} \bar{ψ}) γ^{μ} ψ) \end{matrix}

$\tag{3} T^{\mu \nu} = \frac{i}{4} \Big( \, \overline{\psi} \, \gamma^{\mu} \, (\partial^{\nu} \, \psi \,) + \overline{\psi} \, \gamma^{\nu} \, (\partial^{\mu} \, \psi \,) - (\partial^{\mu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\nu} \, \psi - (\partial^{\nu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\mu} \, \psi \, \Big)$

Bitte erklären Sie, wie Sie zu diesem Energie-Impuls-Tensor kommen, da ich dasselbe versucht habe und in meiner Bearbeitung herausgefunden habe, was los ist.
@johani, leider ist das Symmetrisierungsverfahren ziemlich lang und beinhaltet viele algebrische Manipulationen mit den Gammamatrizen. Es ist eine gute Übung, aber es ist eine schwierige!

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