Noethers 2. Theorem und lokale Eichidentitäten

Ich versuche die sogenannten Gauge Identities abzuleiten:

$$\begin{equation} D_\nu\frac{\delta S}{\delta\phi} = 0 \end{equation}$$ Wo $D_\nu$ist ein Betreiber von Derivaten und $\frac{\delta S}{\delta\phi}$sind die üblichen Euler-Lagrange-Gleichungen.

Bisher habe ich die folgende lokale Feldtransformation vorgenommen:

$$\begin{equation} \bar{\delta}\phi(x) = \varphi_\nu\lambda^\nu(x)\simeq \varphi_\nu\lambda^\nu + \varphi^\mu_\nu\partial_\mu\lambda^\nu \end{equation}$$

Und variierte die Aktion:

$$\begin{align} \bar{\delta}S &= \int d^4x~\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\bar{\delta}\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu\bar{\delta}\phi\right)\\ &= \int d^4x~\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\left(\varphi_\nu^0\lambda^\nu + \varphi_\nu^\rho\partial_\rho\lambda^\nu\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\partial_\mu\left(\varphi_\nu^0\lambda^\nu + \varphi_\nu^\rho\partial_\rho\lambda^\nu\right)\right)\\ &\text{Integrate the second term by parts to get}\\ &= \int d^4x~\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\left(\varphi_\nu^0\lambda^\nu + \varphi_\nu^\rho\partial_\rho\lambda^\nu\right) - \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\left(\varphi_\nu^0\lambda^\nu + \varphi_\nu^\rho\partial_\rho\lambda^\nu\right)\right)\\ &= \int d^4x~\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\right)\right]\varphi_\nu^0\lambda^\nu + \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\right)\right]\varphi_\nu^\rho\partial_\rho\lambda^\nu\\ &\text{Again integrate the second term by parts to get}\\ &= \int d^4x~\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\right)\right]\varphi_\nu^0\lambda^\nu - \partial_\rho\left(\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\right)\right]\varphi_\nu^\rho\right)\lambda^\nu\\ &=\int d^4x~\partial_\mu \mathcal{J}^\mu(\lambda) \end{align}$$

Erkennen dieses Zeugs im Integral als Operator$D_\nu$, bekomme ich folgendes:

$$\begin{equation} \int d^4x ~\left(\partial_\mu \mathcal{J}^\mu(\lambda) - \lambda^\nu D_\nu\frac{\delta S}{\delta\phi}\right) = 0 \end{equation}$$

Was ich nicht verstehe ist, wie man das jetzt sieht$D_\nu\frac{\delta S}{\delta\phi} = 0$für willkürlich$\lambda$.

Was ist, wenn ich einen Parameter wähle, der nicht funktioniert?$\mathcal{J}$zum Beispiel an der Oberfläche verschwinden?