Konservierter Strom in einem komplexen relativistischen Skalarfeld

Für meinen Feldtheorieunterricht habe ich die folgende Lagrange-Dichte

$$\mathscr{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^*\phi$$

Wo$\eta^{\mu\nu}$ist der metrische Tensor (+--- Konvention) und * bezeichnet komplexe Konjugation. Die Lagrange-Funktion ist invariant unter$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$und wenn wir so lassen$\alpha$von infinitesimaler Größe sein, dann haben wir die folgende Erweiterung der Transformation$\phi\rightarrow \phi + i\alpha\phi$. Aus dem Satz von Noether weiß ich, dass die erhaltenen Ströme für s parametrische Symmetrietransformationen gegeben sind durch

$$J^k_n=-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_k\phi_I)}(\Phi_{I,n}-\partial_m\phi_I X^m_n)-\mathscr{L}X^k_n,$$

Und$n=1,...,s$, für eine Verwandlung

$$x^i\rightarrow x'^i= x^i+\delta x^i, \;\;\;i=1,...,d,$$

$$\phi_I(x)\rightarrow \phi_I'(x')=\phi_I(x)+\delta\phi_I(x).$$

Mit$\phi_I$die Felder in sein$\mathscr{L}$. Wo$X$Und$\Phi$werden auf folgende Weise gegeben

$$\delta x^i=\sum_{1\leq n\leq s}X^i_n\delta\omega_n, \;\;\;\;\;\; \delta\phi_I(x)=\sum_{1\leq n\leq s}\Phi_{I,n}\delta\omega_n$$

Jetzt haben wir das in der obigen Lagrange-Dichte$\delta\omega=i\alpha$,$X^i=0$Und$\Phi=\phi$. Wenn ich jetzt versuche, den erhaltenen Strom zu berechnen, bleibe ich hier irgendwie hängen

$$J^k=-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_k\phi)}\phi=-\frac{1}{2}\left[\frac{\partial(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*)}{\partial(\partial_k\phi)}\partial_\nu\phi+\partial_\mu\phi^*\frac{\partial(\eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi)}{\partial(\partial_k\phi)}\right]\phi$$

Was laut meinem Professor gleich sein sollte$\frac{1}{2}(\partial^k\phi\phi^*-\partial^k\phi^*\phi)$. Ich habe keine Ahnung, wie er zu diesem Ergebnis von meinem oben kommt$J^k$.