Elektromagnetischer Spannungs-Energie-Tensor zur Verwendung in Einsteins Feldgleichungen

Ich versuche, den elektromagnetischen Energie-Stress-Tensor für den Energie-Impuls-Tensor von Einsteins Feldgleichungen einzusetzen. Ich bin mir jedoch nicht sicher, welche Tensormatrix ich verwenden soll. Ich habe die folgende Tensormatrix aus "Einführung in Einstein-Maxwell-Gleichungen und die Rainich-Bedingungen" von Wytler Cordeiro Dos Santos gefunden:

T M v = [ 1 2 ( ϵ | E | 2 + 1 μ | B | 2 ) − S X C − S j C − S z C − S X C − σ X X − σ X j − σ X z − S j C − σ j X − σ j j − σ j z − S z C − σ z X − σ z j − σ z z ]

Die Lehrbuchdefinition des elektromagnetischen Energie-Stress-Tensors lautet jedoch:

T M v = [ 1 2 ( ϵ | E | 2 + 1 μ | B | 2 ) S X C S j C S z C S X C − σ X X − σ X j − σ X z S j C − σ j X − σ j j − σ j z S z C − σ z X − σ z j − σ z z ]
mit σ ich J = ϵ E ich E J + 1 μ B ich B J − 1 2 ( ϵ E 2 + 1 μ B 2 ) δ ich J

Welche Matrixgleichung würde ich also in Einsteins Feldgleichung verwenden: G a β = R a β − 1 2 G a β R = − 8 π G C 4 T a β ?

Danke. Wenn weitere Informationen benötigt werden, lassen Sie es mich bitte wissen.

Jay

edit:Einsteins Feldgleichung korrigiert. Wenn ich den Energietensor des freien Raums haben wollte, welchen würde ich verwenden?

Der erste Tensor hat zwei untere Indizes, der zweite zwei obere Indizes.
Ja, das ist richtig. So steht es in dem Artikel, auf den ich verwiesen habe (S. 13). Aus diesem Grund bin ich verwirrt darüber, welchen elektromagnetischen Spannungsenergietensor ich in den Energie-Impuls-Tensor von Einsteins Feldgleichungen einfügen kann.
Beide Ausdrücke, die Sie geben, sind meiner Meinung nach nur für die flache Raumzeit korrekt. Ich habe EM noch nie in gekrümmter Raumzeit gemacht, bin mir also nicht sicher, aber Wikipedia gibt es T μ v = − 1 μ 0 ( F μ a G a β F β v − 1 4 G μ v F σ a G a β F β ρ G ρ σ ) als korrekter Ausdruck für gekrümmte Räume.
@Jay: ist die Einstein-Feldgleichung, die Sie verwenden, eine mit einem Stress-Energie-Tensor mit erhöhten oder verringerten Indizes im Stress-Energie-Tensor?
Ihre Antwort ist anders, wenn dies der Fall ist R A B − 1 2 R G A B = 8 π T A B gegen R A B − 1 2 R G A B = 8 π T A B
@ jacob1729: Beide Ausdrücke, die Sie angeben, sind meiner Meinung nach nur für flache Raumzeit korrekt. Ich denke nicht, dass das richtig ist. Sie gehen von einem lokalen orthonormalen Diagramm aus, aber die Form des Tensors ändert sich nicht basierend auf der Krümmung. Tensoren existieren im Tangentialraum, der ein fiktiver flacher Raum ist.
Sie sollten mit Ihrer Indexnotation konsistent sein.
@BenCrowell die tatsächlichen Zahlen in T enthalten die Bestandteile von G obwohl (siehe die Formel in meinem Kommentar oder in der aktuellen Antwort). Zum Beispiel sind OPs zwei Ausdrücke durch Indexerniedrigung mit der Minkowski-Metrix verbunden η - ob eines davon für einige numerisch richtig ist G ≠ η dann muss der andere falsch sein, da die Indexerhöhung mit erfolgen sollte G .

Antworten (1)

Ich bin mir nicht sicher, ob das deine Frage beantwortet, aber ich denke, es könnte helfen.

Zunächst einmal ist Ihre Feldgleichung durcheinander gebracht. Was Sie wollen, ist

R μ v − 1 2 G μ v R = κ T μ v
oder dieses
R μ v − 1 2 G μ v R = κ T μ v
Der Spannungsenergietensor im Elektromagnetismus kann aus der Lagrangedichte abgeleitet werden
L = − − G 4 F a β F a β
Es kommt heraus
T μ v = F μ β F β v − 1 4 G μ v F a β F a β
Der Ausdruck wird in kovarianter Form ähnlich sein. Setzen Sie dies in die Einstein-Feldgleichungen ein
R μ v − 1 2 G μ v R = κ ( F μ β F β v − 1 4 G μ v F a β F a β )

Auch ein kleiner Ratschlag: Sie sollten verwenden

R μ v = κ ( T μ v − 1 2 G μ v T )
Anstatt G μ v = κ T μ v . Es ist einfacher zu lösen.

FYI: 1. Alle Formeln sind in natürlichen Einheiten. 2. F μ v ist elektromagnetischer Feldtensor .

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