Was ist die Metrik eines konstanten elektromagnetischen (rein elektrischen oder rein magnetischen) Feldes?

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Magnetfeld vor B X einlenken X ^ Richtung, die den ganzen Raum ausfüllt. Was ist das zugehörige Metrikfeld?

Ich kann den elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensor für diese Situation konstruieren:

T μ v = B X 2 2 μ 0 ( 1 − 1 1 1 ) ,

(die leeren Elemente sind Nullen) und ich könnte die Metrik daraus mithilfe der Einstein-Gleichung mit Hilfe eines CAS finden , aber dieses Lösungsverfahren erscheint mir komplex.

Hier in der Community gibt es viele Fragen zum elektromagnetischen Stress-Energie-Tensor. Aber meines Wissens zeigt keiner von ihnen explizit die Metrik eines konstanten elektromagnetischen Feldes. Kennt jemand ein Buch oder einen Artikel, der das zeigt?

In dem Buch "Exact Solutions to Einstein's Field Equations" heißt es, dass die einzige konform flache Nicht-Null-Lösung der (quellenfreien) Einstein-Maxwell-Gleichungen ist D S 2 = ( 1 − λ j 2 ) D X 2 + ( 1 − λ j 2 ) − 1 D j 2 + ( 1 − λ z 2 ) − 1 D z 2 − ( 1 − λ z 2 ) D T 2 , Wo λ k 2 = 1 und das elektromagnetische Feld ist κ 0 F 12 = 2 λ Sünde ⁡ β Und κ 0 F 43 = 2 λ cos ⁡ β , mit κ 0 als Einsteins Gravitationskonstante. Ist dies also die Metrik für gleichzeitige Nicht-Null-Werte? E → = E X X ^ Und B → = B X X ^ ?
Es scheint, dass die vorherige k hängt mit der Robertson-Walker-Metrik zusammen (ich verstehe nicht wie).
Bitte entschuldigen Sie meine Unwissenheit. Wie könnte dieses Linienelement konform flach sein?
Wenn B → = B X ^ Und E → = 0 → dann nicht T μ v = B 2 2 μ 0 ( 1 + 1 0 0 ) ?
Beachten Sie, dass Sie Ihre eigene Frage bearbeiten können. Vielleicht möchten Sie das lieber tun. Es würde alle Ihre Gedanken an einem Ort halten.

Antworten (2)

So wie Sie die Frage stellen, haben Sie anscheinend eine Lösung mit vollständiger Translationssymmetrie im Raum und Rotationssymmetrie um die Magnetfeldrichtung an jedem Punkt im Sinn. Ich weiß nicht, ob es eine solche Lösung gibt; wenn ja, muss es zeitabhängig sein: Wenn die Raumzeit statisch ist, dann verschwindet die äußere Krümmung der Raumabschnitte. Der T X Komponente der Einstein-Gleichung impliziert dann, dass die T X Komponente des Spannungsenergietensors muss verschwinden. Aber für ein Magnetfeld in der X Richtung, diese Komponente ist − B 2 / 2 ≠ 0 .

Es existiert eine zeitunabhängige, stabile Lösung mit Translationssymmetrie in Richtung des Magnetfelds und Rotationssymmetrie um eine Achse. Das ist „Melvins magnetisches Universum“. Die Magnetfeldenergie ist gravitativ gebunden, bricht aber nicht durch den magnetischen Druck zusammen. Die räumliche Geometrie dieser Lösung ist seltsam. Wenn ich mich richtig erinnere, geht der Umfang eines Kreises in einer Ebene orthogonal zur Symmetrieachse gegen Null , wenn der zylindrische Radius gegen unendlich geht.

Danke für Ihre Antwort. Ich verifiziere das magnetische Universum von Melvin. Übrigens, warum erwarten Sie, dass eine Lösung mit vollständiger Translationssymmetrie im Raum und Rotationssymmetrie um die Magnetfeldrichtung an jedem Punkt zeitabhängig ist?
Ich habe die Erklärung hinzugefügt.
Diese Symmetrie würde bedeuten, dass die räumlichen Abschnitte flach sind. Ich kann Ihnen hier nicht folgen ... warum?
Ich folge mir auch nicht. Tut mir leid, ich weiß nicht, was ich mir dabei gedacht habe. Ich werde meine Antwort durch eine genaue ersetzen, mit der gleichen Schlussfolgerung, dass die Lösung nicht statisch sein kann.

Der Spannungsenergietensor, der einem verschwindenden elektrischen Feld zugeordnet ist E → = 0 mit einem Magnetfeld der Form B → = B 0 X ^ wird gegeben von,

T μ v = B 0 2 2 μ 0 η μ v .

Zufällig kann ich mich an eine Lösung erinnern, die einen ähnlichen Spannungs-Energie-Tensor aufweist. Betrachten wir eine einfache Randall-Sundrum-Brane mit der Metrik der Form

D S 2 = D w 2 + e 2 A ( w ) ( D T 2 − D X 2 − D j 2 − D z 2 )

die einen Einstein-Tensor hat (proportional zur Spannungsenergie),

G μ v = − e 2 A η μ v ( 3 A ″ + 6 A ' 2 ) .

Mit Hilfe dieser zusätzlichen Dimension können wir also eine Brane haben, deren Spannungsenergie genau die gleiche Form hat wie für das konstante Magnetfeld, das Sie vorgestellt haben. Wir müssen jedoch die Differentialgleichung lösen,

3 A ″ + 6 A ' 2 = e 2 A .

Durch eine Substitution A ( w ) = ln ⁡ F ( w ) Wir kommen zum Formular,

F ″ ( w ) + F ' ( w ) 2 F ( w ) = 1 3 F ( w ) 3 .

Mathematica ist in der Lage, dies zu lösen, aber es beinhaltet eine unordentliche Umkehrfunktion, die trigonometrische Funktionen und elliptische Funktionen beinhaltet. Daher glaube ich nicht, dass die Lösung zumindest in diesen Koordinaten hübsch ist, aber sie kann sicherlich in die dargestellte Form gegossen werden und existiert.

Was ist die Metrik eines konstanten elektromagnetischen (rein elektrischen oder rein magnetischen) Feldes?
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