Abrufen der Maxwell-Gleichungen aus dem Prinzip der minimalen Wirkung

Question

Abrufen der Maxwell-Gleichungen aus dem Prinzip der minimalen Wirkung

Aktion
Physik
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen
lagrangianischer Formalismus
Variationsprinzip

John M

Ich arbeite gerade am Anfang von Alexei Tsveliks Buch Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics. Ich bin irgendwie ratlos auf ein paar wesentliche Schritte.

Beginnend mit der Aktion:

S = \int D T \int D^{3} X L_{E M} = \int D T \int D^{3} X (- \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} + J_{μ} A^{μ}) .

$S = \int dt \int d^3 x \mathcal{L}_{\mathrm{EM}} = \int dt \int d^3 x \left( -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} + j_\mu A^{\mu}\right).$

In Ermangelung jeglicher Quellen $j_\mu = 0$ Und $c=1$ , was nach dem Einziehen des negativen Vorzeichens impliziert

S = \frac{1}{2} \int D T \int D^{3} X (E^{2} - B^{2})

$S = \frac{1}{2}\int dt \int d^3 x \,\,\left(E^2 - B^2\right)$ Der nächste Schritt ist zu tun

\vec{E} = - \vec{\nabla} ϕ + \partial_{t} \vec{A}

$\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi + \partial_t \vec{A}$ Und

\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}

$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ . Vermietung

ϕ = 0

$\phi = 0$ und diese direkt in die obigen Ausbeuten einsetzen:

S = \frac{1}{2} \int D T \int D^{3} X ((\partial_{T} \vec{A})^{2} - (\vec{\nabla} \times \vec{A})^{2})

$S = \frac{1}{2} \int dt \int d^3 x \,\left( (\partial_t \vec{A})^2 - (\vec{\nabla} \times \vec{A})^2 \right)$

Jetzt überlegen $\vec{A} = \vec{A}_0 + \delta \vec{A}$ als eine minimale Änderung in unserem Vektorpotential, mit $\vec{A}_0$ gibt ein Minimum für die Aktion an und setzt dies in den obigen Ausdruck um, haben wir:

δ S = \int D T \int D^{3} X (\partial_{0} {\vec{A}}_{0} \partial_{0} δ \vec{A} + (\vec{\nabla} \times {\vec{A}}_{0}) \cdot (\vec{\nabla} \times δ \vec{A})) + Ö (A^{2}) (1)

$\delta S = \int dt \int d^3 x \left(\partial_0 \vec{A}_0 \partial_0 \delta \vec{A} + \left(\vec{\nabla} \times \vec{A}_0\right)\cdot\left(\vec{\nabla} \times \delta \vec{A} \right) \right)+ \mathcal{O}(A^2)\,\,\,\,\,\,\, (1)$ wo ich den Begriff habe

Ö (A^{2}) = \int D T \int D^{3} X ((\partial_{0} {\vec{A}}_{0})^{2} + (\partial_{0} δ \vec{A})^{2} - (\vec{\nabla} \times {\vec{A}}_{0})^{2} - (\vec{\nabla} \times δ \vec{A})^{2})

$\mathcal{O}(A^2) = \int dt \int d^3 x \left( (\partial_0 \vec{A}_0)^2 + (\partial_0 \delta \vec{A})^2 - (\vec{\nabla}\times\vec{A}_0)^2-(\vec{\nabla}\times \delta\vec{A})^2\right)$

Der nächste Schritt ist, wo ich unseren Autor verliere und von "Oh ok, ich verstehe" zu "völlig ahnungslos" übergehe. Er schreibt um $\delta S$ als:

δ S = \int D T \int D^{3} (δ X) \vec{A} F ({\vec{A}}_{0}) + Ö (A^{2})

$\delta S = \int dt \int d^3 (\delta x) \vec{A} \mathcal{F(\vec{A}_0)}+ \mathcal{O}(A^2)$

Wo $\mathcal{F} = \frac{\delta S}{\delta A}$ . Was ist der Zweck von $x\to \delta x$ im obigen Ausdruck? Ist die funktionale Ableitung $\mathcal{F}$ eine Vektorgröße? Er hat es mit einem Fettdruck fett gedruckt $\vec{A}$ im obigen Ausdruck. Eine letzte Frage führt den obigen Ausdruck weiter. Wir nehmen an $\delta \vec{A}$ verschwindet im Unendlichen, wie es sein sollte, und partielle Integration ergibt:

δ S = - \int D T \int D^{3} X (\partial_{0}^{2} {\vec{A}}_{0} - (\vec{\nabla} \times \vec{\nabla}) \times {\vec{A}}_{0}) δ \vec{A} (2)

$\delta S = -\int dt \int d^3 x \left( \partial^2_0 \vec{A}_0 - (\vec{\nabla} \times \vec{\nabla})\times \vec{A}_0 \right)\delta \vec{A}\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$ Wie genau sind wir von (1) nach (2) gekommen? Danke, ich schätze Ihre Zeit!

QMechaniker

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Seien Sie vorsichtig, (1) (oder (1.5) in Tsvelik's) endet mit

O (δ A^{2})

$\mathcal{O}(\delta\mathbf{A}^2)$ , nicht mit

O (A^{2})

$\mathcal{O}(\mathbf{A}^2)$ . Es sollte nichts von geringerer Ordnung enthalten

δ A

$\delta\mathbf{A}$ Daher vermute ich, dass Ihre Berechnung dieses Begriffs falsch ist. Und das sind alles übliche Berechnungen für die klassische Langrangsche Feldtheorie , der Autor erinnert sich nur daran, da das Buch fortgeschrittener ist, und so kann er einige Schritte überspringen, vorausgesetzt, sie sind dem Leser bekannt. Sind Sie sicher, dass dies Ihr Levelbuch ist? Vielleicht wäre ein klassisches Lehrbuch der Feldtheorie (Landau-Lifshitz?) hilfreich? Über Treppenstufen zu springen ist schwer.

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Seien Sie vorsichtig, (1) (oder (1.5) in Tsvelik's) endet mit $\mathcal{O}(\delta\mathbf{A}^2)$ , nicht mit $\mathcal{O}(\mathbf{A}^2)$ . Es sollte nichts von geringerer Ordnung enthalten $\delta\mathbf{A}$ Daher vermute ich, dass Ihre Berechnung dieses Begriffs falsch ist. Und das sind alles übliche Berechnungen für die klassische Langrangsche Feldtheorie , der Autor erinnert sich nur daran, da das Buch fortgeschrittener ist, und so kann er einige Schritte überspringen, vorausgesetzt, sie sind dem Leser bekannt. Sind Sie sicher, dass dies Ihr Levelbuch ist? Vielleicht wäre ein klassisches Lehrbuch der Feldtheorie (Landau-Lifshitz?) hilfreich? Über Treppenstufen zu springen ist schwer.

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Der Autor gibt einen Hinweis auf den Übergang:

Nehmen wir das an $\delta\vec{A}$ verschwindet im Unendlichen und integriert ( Formel (1) ) in Teilen ...

Dies ist der übliche Schritt in der Lagrangeschen Feldtheorie (eigentlich von allem). Zunächst haben wir die Aktionsvariante in einer umständlichen Form geschrieben:

δ S = \int_{\begin{matrix} Domäne der wenigsten \\ Handlungsproblem \end{matrix}} (etwas) \cdot (Derivat von (Variation))

$\delta S=\int_{\substack{\text{domain of least}\\\text{action problem}}}(\text{something})\cdot(\text{derivative of }(\text{variation}))$ Da wir wollen, dass die Variation der Aktion in Form ist

δ S = (something) \cdot (variation)

$\delta S=(\text{something})\cdot(\text{variation})$ , müssen wir die Variation unter der Ableitung "herausziehen". Dies geschieht durch partielle Integration :

δ S = [(etwas) \cdot (Variation)]_{Grenze der Domäne} - \int_{Domain} (Variation) \cdot (Derivat von (das etwas))

$\delta S=\Bigl[(\text{something})\cdot(\text{variation})\Bigr]_{\text{boundary of domain}}\\-\int_{\text{domain}}(\text{variation})\cdot(\text{derivative of }(\text{that something}))$ Und dann verwenden wir die Tatsache, dass die Variation an der Grenze des Bereichs (in diesem Fall im Unendlichen) auf Null gesetzt wird. Das heißt, der erste Term hebt sich auf, und wir haben schließlich

δ S = - \int_{Domain} (Variation) \cdot (Derivat von (etwas))

$\delta S=-\int_{\text{domain}}(\text{variation})\cdot(\text{derivative of }(\text{something}))$ Genau das, womit wir fortfahren müssen

(derivative of (something)) = 0

$(\text{derivative of }(\text{something}))=0$ .

Eine Randnotiz : Ich habe einen Tippfehler im Buch gefunden, als ich die russische und die englische Ausgabe verglichen habe. In der englischen Ausgabe wird die Formel (1.6) geschrieben als

δ S = \int D T D^{3} δ X A (T, X) F [A_{0} (T, X)] + Ö (δ A^{2})

$\delta S=\int \mathrm{d}t\,\mathrm{d}^3\delta x\mathbf{A}(t,\mathbf{x})\mathbf{F}[\mathbf{A}_0(t,\mathbf{x})]+\mathcal{O}(\delta A^2)$ was für mich kaum Sinn macht ( was ist das Differential der Variation und was ist $\delta x$ überhaupt im Feld? ). Tatsächlich sieht diese Formel in der russischen Ausgabe so aus

δ S = \int D T D^{3} X δ A (T, X) F [A_{0} (T, X)] + Ö (δ A^{2})

$\delta S=\int dt\,d^3x\,\delta\mathbf{A}(t,\mathbf{x})\mathbf{F}[\mathbf{A}_0(t,\mathbf{x})]+O(\delta A^2)$ was eher nachvollziehbar ist. Kein Wunder, dass Sie darüber gestolpert sind. Mein Beileid.

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John M

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