Energie-Impuls-Tensor und Tensor des elektromagnetischen Feldes

Wenn man versucht, Einsteins Gleichungen zu bekommen$R_{\mu\nu} - \frac12g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$Aus dem Variationsprinzip ergibt sich, dass man die kovariante Form des Energie-Impuls-Tensors definieren kann$T_{\mu\nu}$:

$$\delta S_m = \frac12\int d^4x \sqrt{-g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.$$ Ich versuchte, Ausdruck für zu bekommen $T_{\mu\nu}$des elektromagnetischen Feldes. Ich ging von der unveränderlichen Aktion aus $$\int d^4x\sqrt{-g}L_{em};\quad L_{em} = -\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$$ Wo $F_{\mu\nu}$Tensor des elektromagnetischen Feldes: $$F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^\nu}.$$ Wenn ich wähle $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = F_{\mu\nu}g^{\mu\sigma}g^{\nu\tau}F_{\sigma\tau}$dann gibt Variation: $$-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\Bigl\{2g^{\alpha\beta}F_{\alpha\mu}F_{\beta\nu}-\frac12g_{\mu\nu}F^{\epsilon\zeta}F_{\epsilon\zeta}\Bigl\}\delta g^{\mu\nu}.$$ Also schließe ich $$T^{(em)}_{\mu\nu} = -\frac{1}{4\pi}\Bigl(g^{\alpha\beta}F_{\alpha\mu}F_{\beta\nu}-\frac14g_{\mu\nu}F^{\epsilon\zeta}F_{\epsilon\zeta}\Bigr).$$ Lassen Sie uns das im Hinterkopf behalten $$T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}.$$ Jetzt die Hauptsache. Was wäre, wenn ich wählen würde $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$folgender Ausdruck: $$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = F^{\mu\nu}g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}F^{\sigma\tau}.$$ Indem wir wie oben vorgehen, erhalten wir $$-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\Bigl\{2g_{\alpha\beta}F^{\mu\alpha}F^{\nu\beta} + \frac12 g^{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr\}\delta g_{\mu\nu},$$ was mich zu dem Schluss zwingt $$T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\Bigl(g_{\alpha\beta}F^{\mu\alpha}F^{\nu\beta} + \frac14 g^{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr).$$ Aber wenn ich die Indizes senke, bekomme ich $$g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}T^{\sigma\tau} = \tilde{T}_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\Bigl(g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}g_{\alpha\beta}F^{\sigma\alpha}F^{\tau\beta} + \frac14g_{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr),$$ was nicht ist $T_{\mu\nu}$wegen Erstsemester. Was mache ich falsch? Warum kovariante Komponenten des Vektorpotentials $A$ist hier sinnvoller als kontravariante?