Berechnung von TμνTμνT^{\mu\nu} aus der Lagrange-Dichte LL\mathscr{L}

Question

Berechnung von TμνTμνT^{\mu\nu} aus der Lagrange-Dichte LL\mathscr{L}

Physik
Notation
Metrik-Tensor
Differenzierung
lagrangescher Formalismus
Stress-Energie-Impuls-Tensor

Sofia

Ich versuche zu verstehen, wie obere und untere Indizes bei der Berechnung des Energie-Impuls-Tensors verbunden sind. Insbesondere fand ich das einfache Problem, wo die Lagrange-Dichte gegeben ist als

L = \frac{1}{2} η_{μ v} (\partial^{μ} ϕ) (\partial^{v} ϕ) - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2}

$\mathscr{L}= \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial^{\mu}\phi)(\partial^{\nu}\phi)-\frac{1}{2}m^2\phi^2$ und ich möchte den Energie-Impuls-Tensor berechnen

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ . Beginnend mit der Beziehung

T^{μ v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial^{v} ϕ - η^{μ v} L

$T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial^{\nu}\phi-\eta^{\mu\nu}\mathscr{L}$ kann man finden

{T_{μ}}^{ν} = η_{μ ν} T^{μ ν}

${T_{\mu}}^{\nu} = \eta_{\mu\nu} T^{\mu\nu}$ und danach zurück zu gehen

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ durch

T^{μ ν} = η^{ν μ} {T_{μ}}^{ν}

$T^{\mu\nu} = \eta^{\nu\mu} {T_{\mu}}^{\nu}$ .

Meine Fragen sind folgende:

Gibt es einen Unterschied zw $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ Und $\frac{\partial}{\partial(\partial^{\mu}\phi)}$ , und wenn ja, wie berechnet man $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)} \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial^{\mu}\phi)(\partial^{\nu}\phi)$ ?
Was passiert mit dem Begriff $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial^{\nu}\phi$ beim Multiplizieren mit $\eta_{\mu\nu}$ ? Sollten Indizes verschoben werden? Mein derzeitiges Verständnis ist, dass ich zuerst einen Ausdruck für dieses Nicht-Involvieren finden muss $\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ und dann einfach alle oberen Indizes verschieben $\mu$ runter.

Wie Sie wahrscheinlich erraten können, bin ich sehr neu in dieser Art der Notation und würde mich sehr über jede Hilfe freuen.

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Berechnung von TμνTμνT^{\mu\nu} aus der Lagrange-Dichte LL\mathscr{L}

JamalS · Answer 1

Beim Vertragsabschluss mit der Metrik $\eta_{\mu\nu}$ man hat explizit,

η_{μ v} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial^{v} ϕ = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ)} \partial^{0} ϕ - \sum_{ich = 1}^{3} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ich} ϕ)} \partial^{ich} ϕ

$\eta_{\mu\nu} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi = \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_0 \phi)} \partial^0 \phi - \sum_{i=1}^3\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i \phi)} \partial^i \phi$

Für den anderen Begriff hat man

\frac{1}{2} η_{μ v} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial^{μ} ϕ \partial^{v} ϕ = \frac{1}{2} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} ϕ)} (\partial^{0} ϕ)^{2} - \sum_{ich = 1}^{3} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ich} ϕ)} (\partial^{ich} ϕ)^{2})

$\frac12 \eta_{\mu\nu} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi = \frac12 \left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_0 \phi)} (\partial^0 \phi)^2 - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_i \phi)} (\partial^i \phi)^2 \right)$

Hinweis: Die metrische Konvention ist $\eta = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ .

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Sofia

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JamalS

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